Номер 439, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 439, страница 127.

Условие.

439. Исследуйте, могут ли три различных числа быть одновременно членами геометрической и арифметической прогрессий.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы исследовать, могут ли три различных числа быть одновременно членами геометрической и арифметической прогрессий, рассмотрим два возможных сценария: когда числа являются последовательными членами прогрессий и когда они являются произвольными членами.

Случай 1: Числа являются последовательными членами прогрессий.

Пусть $a, b, c$ — три различных числа, которые являются последовательными членами арифметической и геометрической прогрессий.Из свойства арифметической прогрессии следует, что средний член равен полусумме соседних:$b = \frac{a+c}{2} \implies 2b = a+c$.Из свойства геометрической прогрессии следует, что квадрат среднего члена равен произведению соседних (предполагаем, что числа ненулевые, так как в противном случае они не могли бы быть различными, если знаменатель не равен 0 или 1):$b^2 = ac$.Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:$(\frac{a+c}{2})^2 = ac$$\frac{a^2 + 2ac + c^2}{4} = ac$$a^2 + 2ac + c^2 = 4ac$$a^2 - 2ac + c^2 = 0$$(a-c)^2 = 0$Это равенство выполняется только если $a=c$.Если $a=c$, то из условия $2b = a+c$ получаем $2b = a+a=2a$, откуда $b=a$.Следовательно, $a=b=c$. Это противоречит условию, что числа должны быть различными.Таким образом, три различных числа не могут быть последовательными членами одновременно и арифметической, и геометрической прогрессии.

Случай 2: Числа являются произвольными (не обязательно последовательными) членами прогрессий.

Пусть $a, b, c$ — три различных числа.Если они являются членами арифметической прогрессии с разностью $d$ под номерами $k, m, p$ соответственно, то выполняются соотношения:$b-a = (m-k)d$$c-b = (p-m)d$Отсюда следует, что отношение разностей $\frac{c-b}{b-a} = \frac{p-m}{m-k}$ является рациональным числом, так как $k,m,p$ — целые числа.

Проверим, можно ли подобрать три различных числа, которые являются членами геометрической прогрессии и удовлетворяют этому условию.Рассмотрим в качестве примера числа 1, 2 и 4. Они различны и являются последовательными членами геометрической прогрессии с первым членом $1$ и знаменателем $q=2$.Проверим, могут ли эти числа быть членами некоторой арифметической прогрессии. Для этого вычислим отношение разностей:$\frac{c-b}{b-a} = \frac{4-2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2$.Это рациональное число. Следовательно, мы можем найти такие целочисленные номера $k, m, p$, что $\frac{p-m}{m-k} = 2$.Например, можно выбрать $m-k=1$ и $p-m=2$. Отсюда, пусть $k=1$, тогда $m=2$ и $p=4$.Теперь найдем саму арифметическую прогрессию. Если 1-й член $a_1=1$ и 2-й член $a_2=2$, то разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 1$.Формула $n$-го члена такой прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)\cdot 1 = n$.Проверим, являются ли наши числа 1, 2, 4 членами этой прогрессии под номерами $k=1, m=2, p=4$:$a_k = a_1 = 1$ (верно)$a_m = a_2 = 2$ (верно)$a_p = a_4 = 4$ (верно)Таким образом, числа 1, 2 и 4 являются членами геометрической прогрессии (1-й, 2-й и 3-й члены) и одновременно членами арифметической прогрессии (1-й, 2-й и 4-й члены).

Ответ: Да, три различных числа могут быть одновременно членами геометрической и арифметической прогрессий, но только в том случае, если они не являются последовательными членами обеих прогрессий. Примером таких чисел могут служить 1, 2 и 4.