Вопросы, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - страница 130.

Условие.

Выведите формулы суммы $n$ первых членов геометрической прогрес-

сии: а) $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$; б) $S_n = \frac{b_nq - b_1}{q-1}$.

УПРАЖНЕНИЯ

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Пусть дана геометрическая прогрессия $ (b_n) $ с первым членом $ b_1 $ и знаменателем $ q $, где $ q \neq 1 $. Сумма первых $ n $ членов прогрессии $ S_n $ определяется как:
$ S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n $.

Используя формулу $ n $-го члена геометрической прогрессии $ b_n = b_1 q^{n-1} $, запишем сумму в развернутом виде:
$ S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1} $. (1)

Умножим обе части этого равенства на знаменатель прогрессии $ q $:
$ S_n \cdot q = (b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}) \cdot q $
$ S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n $. (2)

Теперь вычтем из равенства (1) равенство (2):
$ S_n - S_n \cdot q = (b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}) - (b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n) $.

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых большинство членов взаимно уничтожится:
$ S_n - S_n \cdot q = b_1 - b_1q^n $.

Вынесем $ S_n $ за скобки в левой части и $ b_1 $ в правой части:
$ S_n(1 - q) = b_1(1 - q^n) $.

Так как по определению $ q \neq 1 $, мы можем разделить обе части на $ (1 - q) $:
$ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} $.
Формула выведена.

Ответ: $ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} $

б)

Для вывода второй формулы воспользуемся уже полученной формулой из пункта а) и преобразуем ее. Умножим числитель и знаменатель дроби на -1, что не изменит ее значения:
$ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{b_1(1 - q^n) \cdot (-1)}{(1 - q) \cdot (-1)} = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} $.

Раскроем скобки в числителе:
$ S_n = \frac{b_1q^n - b_1}{q - 1} $.

Вспомним формулу $ n $-го члена геометрической прогрессии: $ b_n = b_1q^{n-1} $.
Преобразуем член $ b_1q^n $ в числителе:
$ b_1q^n = b_1 \cdot q^{n-1} \cdot q $.

Заменим $ b_1q^{n-1} $ на $ b_n $:
$ b_1q^n = b_n \cdot q $.

Подставим полученное выражение обратно в формулу для суммы:
$ S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1} $.
Формула выведена.

Ответ: $ S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1} $