Номер 445, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 445, страница 131.

Условие.

445. Дана геометрическая прогрессия ($b_n$). Заполните таблицу:

	$b_1$	$q$	$n$	$b_n$	$S_n$
a)	3		6	96
б)	0,2		11	204,8
в)		0,5		2	254
г)		2	8		765
д)		3		567	847
е)	2			$2^{-3}$	$3\frac{7}{8}$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи будем использовать следующие формулы для геометрической прогрессии:

Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Формулы суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ и $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$ (при $q \neq 1$)

а)

Дано: $b_1 = 3$, $n = 6$, $b_6 = 96$.
Найти: $q$ и $S_6$.
1. Найдем знаменатель прогрессии $q$ из формулы n-го члена:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} \Rightarrow 96 = 3 \cdot q^5$.
$q^5 = \frac{96}{3} = 32$, откуда $q = 2$.
2. Найдем сумму первых шести членов $S_6$:
$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = 3 \cdot (64 - 1) = 3 \cdot 63 = 189$.
Ответ: $q=2, S_6=189$.

б)

Дано: $b_1 = 0,2$, $n = 11$, $b_{11} = 204,8$.
Найти: $q$ и $S_{11}$.
1. Найдем знаменатель $q$:
$b_{11} = b_1 \cdot q^{11-1} \Rightarrow 204,8 = 0,2 \cdot q^{10}$.
$q^{10} = \frac{204,8}{0,2} = 1024$, откуда $q = 2$.
2. Найдем сумму $S_{11}$, используя формулу $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_{11} = \frac{204,8 \cdot 2 - 0,2}{2 - 1} = 409,6 - 0,2 = 409,4$.
Ответ: $q=2, S_{11}=409,4$.

в)

Дано: $q = 0,5$, $b_n = 2$, $S_n = 254$.
Найти: $b_1$ и $n$.
1. Найдем первый член $b_1$ из формулы суммы $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$254 = \frac{2 \cdot 0,5 - b_1}{0,5 - 1} \Rightarrow 254 = \frac{1 - b_1}{-0,5}$.
$254 \cdot (-0,5) = 1 - b_1 \Rightarrow -127 = 1 - b_1$, откуда $b_1 = 1 - (-127) = 128$.
2. Найдем номер члена $n$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$2 = 128 \cdot (0,5)^{n-1} \Rightarrow (0,5)^{n-1} = \frac{2}{128} = \frac{1}{64}$.
Так как $\frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^6 = (0,5)^6$, то $n - 1 = 6$, откуда $n = 7$.
Ответ: $b_1=128, n=7$.

г)

Дано: $q = 2$, $n = 8$, $S_8 = 765$.
Найти: $b_1$ и $b_8$.
1. Найдем первый член $b_1$ из формулы суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$765 = \frac{b_1(2^8 - 1)}{2 - 1} \Rightarrow 765 = b_1(256 - 1) = 255 \cdot b_1$.
$b_1 = \frac{765}{255} = 3$.
2. Найдем восьмой член $b_8$:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$.
Ответ: $b_1=3, b_8=384$.

д)

Дано: $q = 3$, $b_n = 567$, $S_n = 847$.
Найти: $b_1$ и $n$.
1. Найдем первый член $b_1$ из формулы $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$847 = \frac{567 \cdot 3 - b_1}{3 - 1} \Rightarrow 847 = \frac{1701 - b_1}{2}$.
$847 \cdot 2 = 1701 - b_1 \Rightarrow 1694 = 1701 - b_1$, откуда $b_1 = 1701 - 1694 = 7$.
2. Найдем номер члена $n$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$567 = 7 \cdot 3^{n-1} \Rightarrow 3^{n-1} = \frac{567}{7} = 81$.
Так как $81 = 3^4$, то $n - 1 = 4$, откуда $n = 5$.
Ответ: $b_1=7, n=5$.

е)

Дано: $b_1 = 2$, $b_n = 2^{-3} = \frac{1}{8}$, $S_n = 3\frac{7}{8} = \frac{31}{8}$.
Найти: $q$ и $n$.
1. Найдем знаменатель $q$ из формулы $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$\frac{31}{8} = \frac{\frac{1}{8}q - 2}{q - 1}$.
Умножим обе части уравнения на $8(q-1)$:
$31(q-1) = 8(\frac{1}{8}q - 2) \Rightarrow 31q - 31 = q - 16$.
$30q = 15$, откуда $q = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ или $0,5$.
2. Найдем номер члена $n$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$\frac{1}{8} = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} \Rightarrow \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{n-1}$.
Так как $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, то $n - 1 = 4$, откуда $n = 5$.
Ответ: $q=\frac{1}{2}, n=5$.