Номер 442, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 442, страница 130.

Условие.

442. Найдите сумму:

а) $4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5$;

б) $1 - 2 + 2^2 - 2^3 + 2^4 - 2^5 + 2^6$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5$

Данное выражение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на постоянное число $q$, которое называется знаменателем прогрессии.

Первый член прогрессии в данном случае $b_1 = 4$.

Знаменатель прогрессии можно найти, разделив второй член на первый: $q = \frac{4^2}{4} = 4$.

Количество членов в сумме $n = 5$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения в эту формулу:

$S_5 = \frac{4(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{4(1024 - 1)}{3} = \frac{4 \cdot 1023}{3}$

Выполним вычисления:

$S_5 = 4 \cdot 341 = 1364$

Можно также выполнить проверку путем прямого сложения всех членов:

$4 + 16 + 64 + 256 + 1024 = 20 + 64 + 256 + 1024 = 84 + 256 + 1024 = 340 + 1024 = 1364$.

Ответ: $1364$

б) $1 - 2 + 2^2 - 2^3 + 2^4 - 2^5 + 2^6$

Это также является суммой членов геометрической прогрессии. Знакочередование в сумме указывает на то, что знаменатель прогрессии — отрицательное число.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{-2}{1} = -2$.

Количество членов $n = 7$ (так как выражение можно записать как $2^0 - 2^1 + 2^2 - \dots + 2^6$, всего 7 членов).

Используем ту же формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим значения в формулу:

$S_7 = \frac{1 \cdot ((-2)^7 - 1)}{-2 - 1} = \frac{-128 - 1}{-3} = \frac{-129}{-3}$

Выполним вычисления:

$S_7 = 43$

Проверим результат прямым вычислением:

$1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 = -1 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 = 3 - 8 + 16 - 32 + 64 = -5 + 16 - 32 + 64 = 11 - 32 + 64 = -21 + 64 = 43$.

Ответ: $43$