Номер 440, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 440, страница 127.

Условие.

440. Найдите три числа $a, b, c$, образующие геометрическую прогрессию, если числа $a, b, (c - 8)$ составляют арифметическую прогрессию, а числа $a, (b - 2), (c - 10)$ – геометрическую.

Решение.

Решение 2 (rus).

По условию задачи, числа $a$, $b$, $c$ образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что для них выполняется характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов. Запишем это в виде уравнения:

$b^2 = a \cdot c$ (1)

Также по условию, числа $a$, $b$, $(c - 8)$ составляют арифметическую прогрессию. Для них выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии: удвоенный средний член равен сумме крайних членов.

$2b = a + (c - 8)$

$2b = a + c - 8$ (2)

И наконец, числа $a$, $(b - 2)$, $(c - 10)$ образуют геометрическую прогрессию. Снова используем свойство геометрической прогрессии:

$(b - 2)^2 = a \cdot (c - 10)$ (3)

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решим ее. Раскроем скобки в уравнении (3):

$b^2 - 4b + 4 = ac - 10a$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $b^2$ из уравнения (1):

$ac - 4b + 4 = ac - 10a$

Сократим $ac$ в обеих частях уравнения:

$-4b + 4 = -10a$

Разделим обе части на -2:

$2b - 2 = 5a$

Отсюда выразим $2b$:

$2b = 5a + 2$

Теперь подставим полученное выражение для $2b$ в уравнение (2):

$5a + 2 = a + c - 8$

Выразим $c$ через $a$:

$c = 5a - a + 2 + 8$

$c = 4a + 10$

Из выражения $2b = 5a + 2$ найдем $b$ через $a$:

$b = \frac{5a + 2}{2}$

Теперь у нас есть выражения для $b$ и $c$ через $a$. Подставим их в самое первое уравнение $b^2 = ac$:

$(\frac{5a + 2}{2})^2 = a(4a + 10)$

$\frac{(5a + 2)^2}{4} = 4a^2 + 10a$

$\frac{25a^2 + 20a + 4}{4} = 4a^2 + 10a$

Умножим обе части на 4:

$25a^2 + 20a + 4 = 16a^2 + 40a$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$25a^2 - 16a^2 + 20a - 40a + 4 = 0$

$9a^2 - 20a + 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $a$. Решим его. Найдем дискриминант:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 400 - 144 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{20 + 16}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$

$a_2 = \frac{20 - 16}{2 \cdot 9} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

Теперь найдем соответствующие значения $b$ и $c$ для каждого найденного значения $a$.

Случай 1: $a = 2$

$b = \frac{5a + 2}{2} = \frac{5(2) + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$c = 4a + 10 = 4(2) + 10 = 8 + 10 = 18$

Получили первую тройку чисел: (2, 6, 18). Проверим выполнение условий.
Геометрическая прогрессия $a, b, c$: 2, 6, 18 (знаменатель $q=3$). Верно.
Арифметическая прогрессия $a, b, c-8$: 2, 6, $18-8=10$ (разность $d=4$). Верно.
Геометрическая прогрессия $a, b-2, c-10$: 2, $6-2=4$, $18-10=8$ (знаменатель $q=2$). Верно.

Случай 2: $a = \frac{2}{9}$

$b = \frac{5a + 2}{2} = \frac{5(\frac{2}{9}) + 2}{2} = \frac{\frac{10}{9} + \frac{18}{9}}{2} = \frac{\frac{28}{9}}{2} = \frac{14}{9}$

$c = 4a + 10 = 4(\frac{2}{9}) + 10 = \frac{8}{9} + \frac{90}{9} = \frac{98}{9}$

Получили вторую тройку чисел: ($\frac{2}{9}$, $\frac{14}{9}$, $\frac{98}{9}$). Проверим выполнение условий.
Геометрическая прогрессия $a, b, c$: $\frac{2}{9}, \frac{14}{9}, \frac{98}{9}$ (знаменатель $q=7$). Верно.
Арифметическая прогрессия $a, b, c-8$: $\frac{2}{9}, \frac{14}{9}, \frac{98}{9}-8 = \frac{26}{9}$ (разность $d=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$). Верно.
Геометрическая прогрессия $a, b-2, c-10$: $\frac{2}{9}, \frac{14}{9}-2=-\frac{4}{9}, \frac{98}{9}-10=\frac{8}{9}$ (знаменатель $q=-2$). Верно.

Оба набора чисел являются решениями задачи.

Ответ: (2, 6, 18) или ($\frac{2}{9}, \frac{14}{9}, \frac{98}{9}$).