Номер 446, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 446, страница 131.

Условие.

446. Дан равносторонний треугольник, периметр которого равен 24 см. Из его средних линий построен второй треугольник, из средних линий второго – третий и из средних линий третьего – четвертый. Найдите сумму периметров этих четырех треугольников.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $P_1$ – периметр исходного равностороннего треугольника. По условию задачи, $P_1 = 24$ см.

Второй треугольник построен из средних линий первого. По свойству средней линии, она равна половине стороны, которой параллельна. Так как исходный треугольник равносторонний, все его стороны равны, и все средние линии тоже равны между собой. Таким образом, второй треугольник также является равносторонним. Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен половине периметра исходного треугольника.

Найдем периметр второго треугольника, $P_2$: $P_2 = \frac{P_1}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Аналогично, периметр третьего треугольника, $P_3$, построенного на средних линиях второго, будет равен половине периметра второго: $P_3 = \frac{P_2}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

И периметр четвертого треугольника, $P_4$, будет равен половине периметра третьего: $P_4 = \frac{P_3}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Чтобы найти сумму периметров этих четырех треугольников, сложим полученные значения: $S = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 24 + 12 + 6 + 3 = 45$ см.

Также можно заметить, что периметры треугольников образуют конечную геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = 24$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Сумма первых четырех членов этой прогрессии: $S_4 = 24 + 12 + 6 + 3 = 45$ см.

Ответ: 45 см.