Номер 451, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 451, страница 132.

Условие.

451. На куб с ребром 1 м поставили второй куб с ребром $\frac{1}{2}$ м, на второй – куб с ребром $\frac{1}{4}$ м, на третий – куб с ребром $\frac{1}{8}$ м (рисунок 44). Затем полученное тело покрасили, не снимая кубов. Найдите окрашенную площадь.

Рисунок 44

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения общей окрашенной площади необходимо сложить площади всех поверхностей получившегося тела, доступных для покраски. Эти поверхности можно разделить на три группы: боковые грани всех четырех кубов, нижняя грань (основание) самого большого куба и видимые сверху части верхних граней.

1. Площадь боковых поверхностей.
Площадь боковой поверхности одного куба (четырех его боковых граней) с ребром $a$ вычисляется по формуле $4a^2$. Рассчитаем эту площадь для каждого куба:
- Для первого (нижнего) куба с ребром $a_1 = 1$ м: $S_{бок1} = 4 \cdot 1^2 = 4$ м².
- Для второго куба с ребром $a_2 = \frac{1}{2}$ м: $S_{бок2} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ м².
- Для третьего куба с ребром $a_3 = \frac{1}{4}$ м: $S_{бок3} = 4 \cdot (\frac{1}{4})^2 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ м².
- Для четвертого (верхнего) куба с ребром $a_4 = \frac{1}{8}$ м: $S_{бок4} = 4 \cdot (\frac{1}{8})^2 = 4 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{16}$ м².
Суммарная площадь боковых поверхностей равна сумме этих площадей:
$S_{бок} = S_{бок1} + S_{бок2} + S_{бок3} + S_{бок4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = 5 + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = 5\frac{5}{16}$ м².

2. Площадь основания и верхней проекции.
Площадь нижней грани самого большого куба, на которой стоит вся конструкция, является частью окрашенной поверхности. Ее площадь равна:
$S_{низ} = a_1^2 = 1^2 = 1$ м².
Теперь рассмотрим окрашенную поверхность при взгляде сверху. Она состоит из видимых частей верхних граней кубов. Верхняя грань каждого меньшего куба закрывает собой равную по площади часть грани большего куба, на котором он стоит. В результате, общая окрашенная площадь сверху (проекция) в точности равна площади верхней грани самого большого куба:
$S_{верх} = a_1^2 = 1^2 = 1$ м².

3. Общая окрашенная площадь.
Чтобы найти общую окрашенную площадь, сложим площади боковых поверхностей, площадь основания и площадь верхней проекции:
$S_{общ} = S_{бок} + S_{низ} + S_{верх} = 5\frac{5}{16} + 1 + 1 = 7\frac{5}{16}$ м².
Ответ: $7\frac{5}{16}$ м².