Номер 454, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 454, страница 132.

Условие.

454. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Сумма этих чисел равна $2 \frac{3}{8}$, а сумма чисел, обратных им, равна $4 \frac{2}{9}$. Найдите произведение этих чисел.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, будут $b_1, b_2, b_3$. По определению геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению его соседей: $b_2^2 = b_1 b_3$. Произведение этих трех чисел равно $P = b_1 b_2 b_3$. Используя свойство прогрессии, мы можем переписать произведение как $P = (b_1 b_3) b_2 = b_2^2 \cdot b_2 = b_2^3$. Таким образом, для нахождения произведения нам достаточно найти значение второго члена прогрессии $b_2$.

По условию задачи нам даны два значения:

1. Сумма этих чисел: $S = b_1 + b_2 + b_3 = 2\frac{3}{8} = \frac{19}{8}$.

2. Сумма чисел, обратных им: $S_{inv} = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \frac{1}{b_3} = 4\frac{2}{9} = \frac{38}{9}$.

Рассмотрим сумму обратных чисел. Приведем дроби к общему знаменателю:

$S_{inv} = \frac{b_2 b_3 + b_1 b_3 + b_1 b_2}{b_1 b_2 b_3}$

Знаменатель этой дроби — это искомое произведение $P$. Числитель можно упростить, используя свойство $b_1 b_3 = b_2^2$:

$b_2 b_3 + b_1 b_3 + b_1 b_2 = b_2 b_3 + b_2^2 + b_1 b_2 = b_2(b_3 + b_2 + b_1) = b_2 S$

Таким образом, мы получили связь между суммой чисел и суммой их обратных:

$S_{inv} = \frac{b_2 S}{P}$

Подставим в это выражение $P = b_2^3$:

$S_{inv} = \frac{b_2 S}{b_2^3} = \frac{S}{b_2^2}$

Отсюда мы можем выразить $b_2^2$:

$b_2^2 = \frac{S}{S_{inv}}$

Теперь подставим числовые значения из условия:

$b_2^2 = \frac{19/8}{38/9} = \frac{19}{8} \cdot \frac{9}{38} = \frac{19 \cdot 9}{8 \cdot (2 \cdot 19)} = \frac{9}{16}$

Из этого уравнения находим возможные значения для $b_2$:

$b_2 = \pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4}$

Поскольку произведение чисел равно $P = b_2^3$, то существуют два возможных значения для произведения.

1. Если $b_2 = \frac{3}{4}$, то произведение равно $P = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$.

2. Если $b_2 = -\frac{3}{4}$, то произведение равно $P = \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{27}{64}$.

Оба случая приводят к наборам чисел, удовлетворяющим условиям задачи. Следовательно, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Произведение этих чисел равно $\frac{27}{64}$ или $-\frac{27}{64}$.