Номер 460, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 460, страница 133.
№460 (с. 133)
Условие. №460 (с. 133)
скриншот условия

460. Решите уравнение:
а) $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x = 0$;
б) $x^4 + x^3 + x = 1$.
Решение. №460 (с. 133)


Решение 2 (rus). №460 (с. 133)
а) $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
1) $x = 0$
2) $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$
Первый корень найден: $x_1 = 0$.
Для решения второго уравнения сгруппируем слагаемые:
$(x^5 + x^4) + (x^3 + x^2) + (x + 1) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^4(x + 1) + x^2(x + 1) + 1(x + 1) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$(x + 1)(x^4 + x^2 + 1) = 0$
Это уравнение также распадается на два:
2.1) $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.
2.2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y \ge 0$. Уравнение принимает вид:
$y^2 + y + 1 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$
Поскольку $D < 0$, уравнение $y^2 + y + 1 = 0$ не имеет действительных решений. Следовательно, уравнение $x^4 + x^2 + 1 = 0$ также не имеет действительных корней.
Таким образом, исходное уравнение имеет только два действительных корня: $0$ и $-1$.
Ответ: $0; -1$.
б) $x^4 + x^3 + x = 1$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^4 + x^3 + x - 1 = 0$
Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:
$(x^4 - 1) + (x^3 + x) = 0$
Первую скобку разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, а из второй вынесем общий множитель $x$:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) + x(x^2 + 1) = 0$
Теперь видим общий множитель $(x^2 + 1)$, который можно вынести за скобки:
$(x^2 + 1)((x^2 - 1) + x) = 0$
$(x^2 + 1)(x^2 + x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
2) $x^2 + x - 1 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Найдем дискриминант $D$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 460 расположенного на странице 133 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №460 (с. 133), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.