Номер 460, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 460, страница 133.

Условие.

460. Решите уравнение:

а) $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x = 0$;

б) $x^4 + x^3 + x = 1$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$

Первый корень найден: $x_1 = 0$.

Для решения второго уравнения сгруппируем слагаемые:

$(x^5 + x^4) + (x^3 + x^2) + (x + 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x + 1) + x^2(x + 1) + 1(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^4 + x^2 + 1) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

2.1) $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.

2.2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$y^2 + y + 1 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку $D < 0$, уравнение $y^2 + y + 1 = 0$ не имеет действительных решений. Следовательно, уравнение $x^4 + x^2 + 1 = 0$ также не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только два действительных корня: $0$ и $-1$.

Ответ: $0; -1$.

б) $x^4 + x^3 + x = 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^4 + x^3 + x - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(x^4 - 1) + (x^3 + x) = 0$

Первую скобку разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, а из второй вынесем общий множитель $x$:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) + x(x^2 + 1) = 0$

Теперь видим общий множитель $(x^2 + 1)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 + 1)((x^2 - 1) + x) = 0$

$(x^2 + 1)(x^2 + x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

2) $x^2 + x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Найдем дискриминант $D$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.