Номер 464, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 464, страница 138.

Условие.

464. Запишите четыре первых члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_n$) и найдите ее сумму, если:

а) $b_1 = 1, q = \frac{1}{3};$

б) $b_1 = 1, q = -\frac{1}{2};$

в) $b_1 = 2, q = \frac{1}{4};$

г) $b_1 = -3, q = \frac{1}{2}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = 1$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

1. Найдем первые четыре члена прогрессии. Каждый следующий член прогрессии равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$.

$b_1 = 1$

$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

Первые четыре члена прогрессии: $1; \frac{1}{3}; \frac{1}{9}; \frac{1}{27}$.

2. Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поскольку $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{3-1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: первые четыре члена: $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}$; сумма: $1.5$.

б)

Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = 1$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.

1. Найдем первые четыре члена прогрессии.

$b_1 = 1$

$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$

Первые четыре члена прогрессии: $1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; -\frac{1}{8}$.

2. Найдем сумму прогрессии. Поскольку $|q| = |-\frac{1}{2}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Используем формулу $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.

Ответ: первые четыре члена: $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}$; сумма: $\frac{2}{3}$.

в)

Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = 2$ и знаменатель $q = \frac{1}{4}$.

1. Найдем первые четыре члена прогрессии.

$b_1 = 2$

$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$

Первые четыре члена прогрессии: $2; \frac{1}{2}; \frac{1}{8}; \frac{1}{32}$.

2. Найдем сумму прогрессии. Поскольку $|q| = |\frac{1}{4}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Используем формулу $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{2}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{\frac{3}{4}} = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.

Ответ: первые четыре члена: $2, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{32}$; сумма: $\frac{8}{3}$.

г)

Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = -3$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

1. Найдем первые четыре члена прогрессии.

$b_1 = -3$

$b_2 = b_1 \cdot q = -3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{4}$

$b_4 = b_3 \cdot q = (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{8}$

Первые четыре члена прогрессии: $-3; -\frac{3}{2}; -\frac{3}{4}; -\frac{3}{8}$.

2. Найдем сумму прогрессии. Поскольку $|q| = |\frac{1}{2}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Используем формулу $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{-3}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-3}{\frac{1}{2}} = -3 \cdot 2 = -6$.

Ответ: первые четыре члена: $-3, -\frac{3}{2}, -\frac{3}{4}, -\frac{3}{8}$; сумма: $-6$.