Номер 466, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 466, страница 138.

Условие.

466. Упростите выражение: $\frac{1+a+a^2+...}{a+a^3+a^5+...}$, где числитель и знаменатель дроби – суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий.

Решение.

Решение 2 (rus).

Данное выражение представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой являются суммами бесконечно убывающих геометрических прогрессий. Для нахождения суммы такой прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель (при условии $|q| < 1$).

1. Найдем сумму числителя.
Числитель представляет собой прогрессию $1 + a + a^2 + \dots$.
Первый член этой прогрессии $b_{1ч} = 1$.
Знаменатель прогрессии $q_ч = \frac{a}{1} = a$.
Сумма числителя $S_ч = \frac{1}{1 - a}$.

2. Найдем сумму знаменателя.
Знаменатель представляет собой прогрессию $a + a^3 + a^5 + \dots$.
Первый член этой прогрессии $b_{1з} = a$.
Знаменатель прогрессии $q_з = \frac{a^3}{a} = a^2$.
Сумма знаменателя $S_з = \frac{a}{1 - a^2}$.

3. Подставим найденные суммы в исходное выражение и упростим его.
$\frac{1 + a + a^2 + \dots}{a + a^3 + a^5 + \dots} = \frac{S_ч}{S_з} = \frac{\frac{1}{1 - a}}{\frac{a}{1 - a^2}}$
Для деления дробей умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:
$\frac{1}{1 - a} \cdot \frac{1 - a^2}{a}$
Разложим выражение $1 - a^2$ по формуле разности квадратов: $1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$.
$\frac{1}{1 - a} \cdot \frac{(1 - a)(1 + a)}{a}$
Сократим общий множитель $(1 - a)$. Это возможно, так как для сходимости прогрессий должно выполняться условие $|a| < 1$, что означает $a \neq 1$.
$\frac{1 + a}{a}$

Ответ: $\frac{1+a}{a}$