Номер 468, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 468, страница 138.

Условие.

468. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

а) $0,4(4)$;

б) $0,3(4)$;

в) $0,23(3)$;

г) $1,17(2)$;

д) $0,423(7)$;

е) $-21,1(5)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) 0,4(4)

Данная дробь является чистой периодической дробью, так как период начинается сразу после запятой: $0,4(4) = 0,(4) = 0,444...$

Пусть $x = 0,444...$

Умножим обе части этого уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо (на длину периода):

$10x = 4,444...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной дробной части:

$10x - x = 4,444... - 0,444...$

$9x = 4$

Решая уравнение относительно $x$, получаем:

$x = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

б) 0,3(4)

Это смешанная периодическая дробь. Обозначим ее как $x = 0,3444...$

Умножим уравнение на 10, чтобы непериодическая часть (цифра 3) оказалась слева от запятой:

$10x = 3,444...$

Теперь умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть влево непериодическую часть и один период:

$100x = 34,444...$

Вычтем первое полученное уравнение из второго:

$100x - 10x = 34,444... - 3,444...$

$90x = 31$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{31}{90}$

Ответ: $\frac{31}{90}$

в) 0,23(3)

Пусть $x = 0,2333...$ Это смешанная периодическая дробь, у которой непериодическая часть — 23, а период — 3. На самом деле, это число $0.2333...$, у которого непериодическая часть `2`, а период `3`. Будем решать для числа $0.2333...$

Умножим уравнение на 10, чтобы получить число с периодом сразу после запятой:

$10x = 2,333...$

Умножим исходное уравнение на 100:

$100x = 23,333...$

Вычтем первое полученное уравнение из второго:

$100x - 10x = 23,333... - 2,333...$

$90x = 21$

Находим $x$ и сокращаем дробь:

$x = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$

Ответ: $\frac{7}{30}$

г) 1,17(2)

Представим число в виде суммы целой и дробной частей: $1,17(2) = 1 + 0,17(2)$.

Сначала преобразуем периодическую дробь $y = 0,17222...$

Умножим на 100, чтобы непериодическая часть (17) оказалась слева от запятой:

$100y = 17,222...$

Умножим на 1000, чтобы сдвинуть влево непериодическую часть и один период:

$1000y = 172,222...$

Вычтем первое уравнение из второго:

$1000y - 100y = 172,222... - 17,222...$

$900y = 155$

$y = \frac{155}{900} = \frac{31}{180}$ (сократили на 5).

Теперь добавим целую часть:

$1 + \frac{31}{180} = \frac{180}{180} + \frac{31}{180} = \frac{211}{180}$

Ответ: $\frac{211}{180}$

д) 0,423(7)

Пусть $x = 0,423777...$

Непериодическая часть (423) состоит из трех цифр. Умножим на 1000:

$1000x = 423,777...$

Период (7) состоит из одной цифры. Умножим исходное уравнение на 10000:

$10000x = 4237,777...$

Вычтем первое уравнение из второго:

$10000x - 1000x = 4237,777... - 423,777...$

$9000x = 3814$

Находим $x$ и сокращаем дробь:

$x = \frac{3814}{9000} = \frac{1907}{4500}$ (сократили на 2).

Ответ: $\frac{1907}{4500}$

е) -21,1(5)

Сначала преобразуем положительное число $21,1(5)$, а в конце добавим знак минус.

Представим число как $21 + 0,1(5)$.

Пусть $y = 0,1(5) = 0,1555...$

Умножим на 10, чтобы выделить непериодическую часть (1):

$10y = 1,555...$

Умножим на 100, чтобы сдвинуть период влево:

$100y = 15,555...$

Вычтем первое уравнение из второго:

$100y - 10y = 15,555... - 1,555...$

$90y = 14$

$y = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}$.

Теперь сложим с целой частью: $21 + y = 21 + \frac{7}{45} = \frac{21 \cdot 45}{45} + \frac{7}{45} = \frac{945 + 7}{45} = \frac{952}{45}$.

Так как исходная дробь отрицательна, результат будет со знаком минус.

Ответ: $-\frac{952}{45}$