Номер 473, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 473, страница 139.

Условие.

473. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_n$) равна 8,75. Если взять ее члены, стоящие на нечетных местах, то получится бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна $7\frac{7}{24}$. Найдите $b_3$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, её знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Сумма $S$ всех членов этой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.Из условия задачи известно, что эта сумма равна $8,75$. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $8,75 = 8\frac{75}{100} = 8\frac{3}{4} = \frac{35}{4}$.Таким образом, получаем первое уравнение:$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{35}{4}$ (1)

Далее рассмотрим новую прогрессию, которая состоит из членов исходной прогрессии, стоящих на нечетных местах: $b_1, b_3, b_5, \dots$.Эти члены можно выразить через $b_1$ и $q$: $b_1, b_1q^2, b_1q^4, \dots$.Это тоже геометрическая прогрессия. Её первый член $b'_1$ равен $b_1$, а её знаменатель $q'$ равен отношению второго члена к первому: $q' = \frac{b_3}{b_1} = \frac{b_1q^2}{b_1} = q^2$.Поскольку $|q|<1$, то и $|q'| = |q^2| < 1$, следовательно, эта новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма $S_{неч}$ этой новой прогрессии вычисляется по той же формуле: $S_{неч} = \frac{b'_1}{1-q'} = \frac{b_1}{1-q^2}$.По условию, $S_{неч} = 7\frac{7}{24}$. Переведем это смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 24 + 7}{24} = \frac{168+7}{24} = \frac{175}{24}$.Получаем второе уравнение:$S_{неч} = \frac{b_1}{1-q^2} = \frac{175}{24}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $b_1$ и $q$:$\left\{\begin{array}{l} \frac{b_1}{1-q} = \frac{35}{4} \\ \frac{b_1}{1-q^2} = \frac{175}{24} \end{array}\right.$

Используем формулу разности квадратов для знаменателя второго уравнения: $1-q^2 = (1-q)(1+q)$.Тогда второе уравнение можно переписать так:$\frac{b_1}{(1-q)(1+q)} = \frac{175}{24}$$\left(\frac{b_1}{1-q}\right) \cdot \frac{1}{1+q} = \frac{175}{24}$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $\frac{b_1}{1-q}$ из уравнения (1):$\frac{35}{4} \cdot \frac{1}{1+q} = \frac{175}{24}$Выразим из этого уравнения $(1+q)$:$1+q = \frac{35}{4} \div \frac{175}{24} = \frac{35}{4} \cdot \frac{24}{175}$Сократим полученное выражение:$1+q = \frac{35 \cdot 6 \cdot 4}{4 \cdot 5 \cdot 35} = \frac{6}{5}$

Отсюда находим $q$:$q = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$

Теперь, зная $q$, найдем $b_1$ из уравнения (1):$\frac{b_1}{1-\frac{1}{5}} = \frac{35}{4}$$\frac{b_1}{\frac{4}{5}} = \frac{35}{4}$$b_1 = \frac{35}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{35}{5} = 7$

Цель задачи — найти третий член прогрессии, $b_3$.Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$.Для $n=3$: $b_3 = b_1 q^{3-1} = b_1 q^2$.Подставляем найденные значения $b_1=7$ и $q=\frac{1}{5}$:$b_3 = 7 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 7 \cdot \frac{1}{25} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$.