Номер 475, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 475, страница 139.

Условие.

475. Дан равносторонний треугольник со стороной, равной 8 см. От него прямой, проходящей через середины боковых сторон, отсечен второй треугольник, от второго треугольника таким же образом отсечен третий и так далее до бесконечности. Найдите сумму площадей всех таких треугольников.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи найдем площади всех треугольников и просуммируем их.

1. Найдем площадь первого треугольника.
Первый треугольник — равносторонний со стороной $a_1 = 8$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Таким образом, площадь первого треугольника $S_1$ равна: $S_1 = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь второго треугольника.
Второй треугольник отсекается от первого прямой, проходящей через середины двух его сторон. Эта прямая является средней линией первого треугольника. Отсеченный (второй) треугольник подобен первому. Длина стороны второго треугольника $a_2$ равна длине средней линии, то есть половине стороны первого треугольника: $a_2 = \frac{1}{2} a_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Площадь второго треугольника $S_2$ равна: $S_2 = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

3. Найдем площадь третьего треугольника.
Третий треугольник отсекается от второго таким же образом. Его сторона $a_3$ будет вдвое меньше стороны второго треугольника: $a_3 = \frac{1}{2} a_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.
Площадь третьего треугольника $S_3$ равна: $S_3 = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

4. Определим закономерность и найдем сумму площадей.
Площади треугольников $S_1, S_2, S_3, \dots$ образуют последовательность: $16\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, \sqrt{3}, \dots$. Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Найдем ее знаменатель $q$: $q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{4\sqrt{3}}{16\sqrt{3}} = \frac{1}{4}$.
Так как $|q| < 1$, можно найти сумму этой прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии. В нашем случае $b_1 = S_1 = 16\sqrt{3}$. Сумма площадей всех треугольников равна: $S = \frac{16\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{16\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = 16\sqrt{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см².

Ответ: $\frac{64\sqrt{3}}{3}$ см².