Номер 481, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 481, страница 140.

Условие.

481. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической про-грессии, в которой:

a) $b_3 - b_1 = 36, b_4 - b_3 = 18;$

б) $b_1 - b_4 = 7, b_2 - b_3 = 2.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, для которой известны следующие соотношения:

$b_3 - b_1 = 36$

$b_4 - b_3 = 18$

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Запишем данные уравнения через $b_1$ и $q$, получив систему уравнений:

$b_1 q^2 - b_1 = 36 \implies b_1(q^2 - 1) = 36$

$b_1 q^3 - b_1 q^2 = 18 \implies b_1 q^2(q - 1) = 18$

Разделим второе уравнение на первое (поскольку из $b_4 - b_3 = 18 \ne 0$ следует, что $b_1 \ne 0$ и $q \ne 0, q \ne 1$, а из $b_3 - b_1 = 36 \ne 0$ следует, что $q \ne -1$):

$\frac{b_1 q^2(q - 1)}{b_1(q^2 - 1)} = \frac{18}{36}$

Разложим знаменатель левой части на множители по формуле разности квадратов $q^2 - 1 = (q-1)(q+1)$ и сократим дробь:

$\frac{q^2(q - 1)}{(q - 1)(q + 1)} = \frac{1}{2}$

$\frac{q^2}{q + 1} = \frac{1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$2q^2 = q + 1$

$2q^2 - q - 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по формуле:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$q_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$q_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, её знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$. Корень $q_1 = 1$ не подходит, так как прогрессия при этом не будет убывающей. Следовательно, знаменатель прогрессии $q = -1/2$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение системы $b_1(q^2 - 1) = 36$:

$b_1((\frac{-1}{2})^2 - 1) = 36$

$b_1(\frac{1}{4} - 1) = 36$

$b_1(-\frac{3}{4}) = 36$

$b_1 = 36 \cdot (-\frac{4}{3}) = -48$

Зная первый член $b_1 = -48$ и знаменатель $q = -1/2$, найдем сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$:

$S = \frac{-48}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-48}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-48}{\frac{3}{2}} = -48 \cdot \frac{2}{3} = -32$

Ответ: -32

б)

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, для которой известны следующие соотношения:

$b_1 - b_4 = 7$

$b_2 - b_3 = 2$

Используя формулу n-го члена прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, запишем уравнения через $b_1$ и $q$:

$b_1 - b_1 q^3 = 7 \implies b_1(1 - q^3) = 7$

$b_1 q - b_1 q^2 = 2 \implies b_1 q(1 - q) = 2$

Получили систему уравнений. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{b_1(1 - q^3)}{b_1 q(1 - q)} = \frac{7}{2}$

Используем формулу разности кубов $1 - q^3 = (1 - q)(1 + q + q^2)$ и сократим дробь (так как $|q|<1$, то $q \ne 1$):

$\frac{(1 - q)(1 + q + q^2)}{q(1 - q)} = \frac{7}{2}$

$\frac{1 + q + q^2}{q} = \frac{7}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$2(1 + q + q^2) = 7q$

$2 + 2q + 2q^2 = 7q$

$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$q_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$

$q_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$

Так как прогрессия бесконечно убывающая, должно выполняться условие $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только корень $q_2 = 1/2$. Значит, знаменатель прогрессии $q = 1/2$.

Найдем $b_1$, подставив $q = 1/2$ во второе уравнение системы $b_1 q(1 - q) = 2$:

$b_1 \cdot \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2}) = 2$

$b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2$

$b_1 \cdot \frac{1}{4} = 2$

$b_1 = 8$

Теперь мы можем найти сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$:

$S = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16$

Ответ: 16