Номер 483, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 483, страница 140.

Условие.

483. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии должно выполняться условие $|q| < 1$.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Согласно условию задачи, сумма прогрессии равна 4. Составим первое уравнение:
$\frac{b_1}{1 - q} = 4$ (1)

Далее рассмотрим последовательность, состоящую из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \dots$. Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Её первый член $B_1 = b_1^3$, а знаменатель $Q = \frac{b_1^3q^3}{b_1^3} = q^3$.
Поскольку $|q| < 1$, то и $|Q| = |q^3| < 1$, а значит, новая прогрессия тоже является бесконечно убывающей.

Сумма этой новой прогрессии $S_{куб}$ вычисляется по аналогичной формуле:
$S_{куб} = \frac{B_1}{1 - Q} = \frac{b_1^3}{1 - q^3}$

По условию, сумма кубов членов равна 192. Составим второе уравнение:
$\frac{b_1^3}{1 - q^3} = 192$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
$\begin{cases} \frac{b_1}{1 - q} = 4 \\ \frac{b_1^3}{1 - q^3} = 192 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = 4(1 - q)$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$\frac{(4(1 - q))^3}{1 - q^3} = 192$
$\frac{64(1 - q)^3}{1 - q^3} = 192$

Разделим обе части уравнения на 64:
$\frac{(1 - q)^3}{1 - q^3} = \frac{192}{64}$
$\frac{(1 - q)^3}{1 - q^3} = 3$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ к знаменателю:
$1 - q^3 = (1 - q)(1 + q + q^2)$
Подставив это в уравнение, получаем:
$\frac{(1 - q)^3}{(1 - q)(1 + q + q^2)} = 3$

Поскольку $|q| < 1$, то $q \neq 1$, и можно сократить дробь на $(1 - q)$:
$\frac{(1 - q)^2}{1 + q + q^2} = 3$

Теперь решим это уравнение относительно $q$. Умножим обе части на знаменатель:
$(1 - q)^2 = 3(1 + q + q^2)$
$1 - 2q + q^2 = 3 + 3q + 3q^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$3q^2 - q^2 + 3q + 2q + 3 - 1 = 0$
$2q^2 + 5q + 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$q_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
$q_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверим найденные значения на соответствие условию $|q| < 1$:
Для $q_1 = -2$: $|-2| = 2$. Это значение не удовлетворяет условию $2 \nless 1$.
Для $q_2 = -\frac{1}{2}$: $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $\frac{1}{2} < 1$.
Следовательно, знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$