Номер 479, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 479, страница 140.

Условие.

479. Запишите в виде обыкновенной дроби:

а) $\frac{0,2(5)}{0,12(7)}$;

б) $\frac{0,2(27)}{0,(63)}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $\frac{0.2(5)}{0.12(7)}$

Для решения этой задачи необходимо сначала преобразовать числитель и знаменатель из периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби.

1. Преобразуем числитель $0.2(5)$.

Для преобразования смешанной периодической дроби в обыкновенную используется правило: числитель равен разности между числом, стоящим после запятой (включая один период), и числом, стоящим после запятой до периода. Знаменатель состоит из такого количества девяток, сколько цифр в периоде, и такого количества нулей, сколько цифр между запятой и периодом.

Для $0.2(5)$: число после запятой с периодом – 25, число до периода – 2. В периоде одна цифра (5), между запятой и периодом одна цифра (2).

$0.2(5) = \frac{25 - 2}{90} = \frac{23}{90}$.

2. Преобразуем знаменатель $0.12(7)$.

Используя то же правило для $0.12(7)$: число после запятой с периодом – 127, число до периода – 12. В периоде одна цифра (7), между запятой и периодом две цифры (12).

$0.12(7) = \frac{127 - 12}{900} = \frac{115}{900}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$\frac{115 \div 5}{900 \div 5} = \frac{23}{180}$.

3. Теперь выполним деление полученных обыкновенных дробей.

$\frac{0.2(5)}{0.12(7)} = \frac{\frac{23}{90}}{\frac{23}{180}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{23}{90} \div \frac{23}{180} = \frac{23}{90} \cdot \frac{180}{23}$

Сокращаем общие множители 23, а также 180 и 90:

$\frac{1}{90} \cdot \frac{180}{1} = \frac{180}{90} = 2$.

Ответ: $2$.

б) $\frac{0.2(27)}{0.(63)}$

Действуем аналогично, преобразуя периодические дроби в обыкновенные.

1. Преобразуем числитель $0.2(27)$.

Это смешанная периодическая дробь. Применяем правило:

$0.2(27) = \frac{227 - 2}{990} = \frac{225}{990}$.

Сократим дробь. Наибольший общий делитель чисел 225 и 990 равен 45.

$\frac{225 \div 45}{990 \div 45} = \frac{5}{22}$.

2. Преобразуем знаменатель $0.(63)$.

Это чистая периодическая дробь. Чтобы преобразовать ее в обыкновенную, нужно в числитель записать период, а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде.

$0.(63) = \frac{63}{99}$.

Сократим дробь на 9:

$\frac{63 \div 9}{99 \div 9} = \frac{7}{11}$.

3. Теперь разделим полученные обыкновенные дроби.

$\frac{0.2(27)}{0.(63)} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{7}{11}} = \frac{5}{22} \div \frac{7}{11} = \frac{5}{22} \cdot \frac{11}{7}$.

Сокращаем 11 и 22 (на 11):

$\frac{5}{2 \cdot 11} \cdot \frac{11}{7} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{14}$.

Ответ: $\frac{5}{14}$.