Номер 482, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 482, страница 140.

Условие.

482. Представьте в виде суммы какой-либо бесконечно убывающей геометрической прогрессии число:

а) 5;

б) 3,5.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы представить число в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, используется формула суммы такой прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $S$ — заданное число (сумма), $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для бесконечно убывающей прогрессии должно выполняться условие $|q| < 1$.

В этой задаче нам дано $S$, и нужно найти $b_1$ и $q$. Так как у нас одно уравнение с двумя неизвестными, существует бесконечное множество решений. Мы можем произвольно выбрать одно из неизвестных (например, $q$, удовлетворив условию $|q|<1$) и затем вычислить второе ($b_1$).

а) Представим число 5 в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Выберем произвольный знаменатель $q$, такой что $|q| < 1$. Например, пусть $q = \frac{1}{2}$.

Подставим $S = 5$ и $q = \frac{1}{2}$ в формулу суммы и найдем $b_1$:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

$5 = \frac{b_1}{1 - \frac{1}{2}}$

$5 = \frac{b_1}{\frac{1}{2}}$

$b_1 = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2,5$

Таким образом, мы получили прогрессию, где первый член $b_1 = 2,5$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Запишем число 5 в виде суммы членов этой прогрессии:

$5 = 2,5 + 2,5 \cdot \frac{1}{2} + 2,5 \cdot (\frac{1}{2})^2 + ... = 2,5 + 1,25 + 0,625 + ...$

Ответ: $5 = 2,5 + 1,25 + 0,625 + ...$

б) Представим число 3,5 в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В этот раз для разнообразия выберем сначала первый член $b_1$. Пусть, например, $b_1 = 2$. Теперь найдем $q$ и проверим, удовлетворяет ли он условию $|q|<1$.

Подставим $S = 3,5$ и $b_1 = 2$ в формулу и найдем $q$:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

$3,5 = \frac{2}{1 - q}$

$3,5 \cdot (1 - q) = 2$

$3,5 - 3,5q = 2$

$1,5 = 3,5q$

$q = \frac{1,5}{3,5} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

Так как $|q| = |\frac{3}{7}| < 1$, это допустимое значение. Прогрессия имеет первый член $b_1 = 2$ и знаменатель $q = \frac{3}{7}$. Запишем число 3,5 в виде суммы:

$3,5 = 2 + 2 \cdot \frac{3}{7} + 2 \cdot (\frac{3}{7})^2 + ... = 2 + \frac{6}{7} + \frac{18}{49} + ...$

Ответ: $3,5 = 2 + \frac{6}{7} + \frac{18}{49} + ...$