Номер 489, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 489, страница 141.
№489 (с. 141)
Условие. №489 (с. 141)
скриншот условия

489. Докажите, что для любых неравных чисел $a$ и $b$ последовательность:
a) $(a + b)^2; a^2 + b^2; (a - b)^2$ является арифметической прогрессией;
б) $(a + b)^2; a^2 - b^2; (a - b)^2$ является геометрической прогрессией.
Решение. №489 (с. 141)

Решение 2 (rus). №489 (с. 141)
а) Последовательность из трех чисел является арифметической прогрессией, если ее средний член равен среднему арифметическому крайних членов. Для последовательности $x, y, z$ это условие записывается как $2y = x+z$.
Проверим это условие для последовательности $(a+b)^2; a^2+b^2; (a-b)^2$.
Пусть $x=(a+b)^2$, $y=a^2+b^2$, $z=(a-b)^2$.
Найдем сумму крайних членов, используя формулы сокращенного умножения:
$x+z = (a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) = 2a^2+2b^2 = 2(a^2+b^2)$.
Удвоенный средний член равен: $2y = 2(a^2+b^2)$.
Так как $x+z = 2y$, равенство $2(a^2+b^2) = 2(a^2+b^2)$ выполняется для любых чисел $a$ и $b$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Доказано, что последовательность $(a+b)^2; a^2+b^2; (a-b)^2$ является арифметической прогрессией.
б) Последовательность из трех чисел является геометрической прогрессией, если квадрат ее среднего члена равен произведению крайних членов. Для последовательности $x, y, z$ это условие записывается как $y^2 = x \cdot z$.
Проверим это условие для последовательности $(a+b)^2; a^2-b^2; (a-b)^2$.
Пусть $x=(a+b)^2$, $y=a^2-b^2$, $z=(a-b)^2$.
Найдем произведение крайних членов:
$x \cdot z = (a+b)^2 \cdot (a-b)^2$.
Найдем квадрат среднего члена, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$y^2 = (a^2-b^2)^2 = ((a-b)(a+b))^2 = (a-b)^2 \cdot (a+b)^2$.
Так как $y^2 = x \cdot z$, равенство $(a-b)^2 \cdot (a+b)^2 = (a+b)^2 \cdot (a-b)^2$ выполняется для любых чисел $a$ и $b$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: Доказано, что последовательность $(a+b)^2; a^2-b^2; (a-b)^2$ является геометрической прогрессией.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 489 расположенного на странице 141 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №489 (с. 141), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.