Номер 489, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 489, страница 141.

Условие.

489. Докажите, что для любых неравных чисел $a$ и $b$ последовательность:

a) $(a + b)^2; a^2 + b^2; (a - b)^2$ является арифметической прогрессией;

б) $(a + b)^2; a^2 - b^2; (a - b)^2$ является геометрической прогрессией.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Последовательность из трех чисел является арифметической прогрессией, если ее средний член равен среднему арифметическому крайних членов. Для последовательности $x, y, z$ это условие записывается как $2y = x+z$.

Проверим это условие для последовательности $(a+b)^2; a^2+b^2; (a-b)^2$.

Пусть $x=(a+b)^2$, $y=a^2+b^2$, $z=(a-b)^2$.

Найдем сумму крайних членов, используя формулы сокращенного умножения:

$x+z = (a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) = 2a^2+2b^2 = 2(a^2+b^2)$.

Удвоенный средний член равен: $2y = 2(a^2+b^2)$.

Так как $x+z = 2y$, равенство $2(a^2+b^2) = 2(a^2+b^2)$ выполняется для любых чисел $a$ и $b$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Доказано, что последовательность $(a+b)^2; a^2+b^2; (a-b)^2$ является арифметической прогрессией.

б) Последовательность из трех чисел является геометрической прогрессией, если квадрат ее среднего члена равен произведению крайних членов. Для последовательности $x, y, z$ это условие записывается как $y^2 = x \cdot z$.

Проверим это условие для последовательности $(a+b)^2; a^2-b^2; (a-b)^2$.

Пусть $x=(a+b)^2$, $y=a^2-b^2$, $z=(a-b)^2$.

Найдем произведение крайних членов:

$x \cdot z = (a+b)^2 \cdot (a-b)^2$.

Найдем квадрат среднего члена, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$y^2 = (a^2-b^2)^2 = ((a-b)(a+b))^2 = (a-b)^2 \cdot (a+b)^2$.

Так как $y^2 = x \cdot z$, равенство $(a-b)^2 \cdot (a+b)^2 = (a+b)^2 \cdot (a-b)^2$ выполняется для любых чисел $a$ и $b$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Доказано, что последовательность $(a+b)^2; a^2-b^2; (a-b)^2$ является геометрической прогрессией.