Номер 491, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 491, страница 141.

Условие.

491. Длины сторон треугольника являются последовательными членами арифметической прогрессии, разность которой равна 2 см. Найдите периметр этого треугольника, если известно, что его площадь равна $8 \text{ см}^2$, а угол между наибольшей и наименьшей сторонами равен $30^\circ$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть стороны треугольника являются последовательными членами арифметической прогрессии. Удобно обозначить их как $x-d$, $x$ и $x+d$, где $x$ - средняя по величине сторона, а $d$ - разность прогрессии.

По условию, разность прогрессии $d = 2$ см. Значит, стороны треугольника равны $x-2$, $x$ и $x+2$.Наименьшая сторона равна $x-2$, а наибольшая - $x+2$.

Для существования треугольника с такими сторонами необходимо, чтобы, во-первых, все стороны были положительными, то есть $x-2 > 0$, откуда $x > 2$. Во-вторых, должно выполняться неравенство треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей. Достаточно проверить для двух меньших сторон:$(x-2) + x > x+2$$2x - 2 > x + 2$$x > 4$.Следовательно, $x$ должен быть больше 4.

Площадь треугольника ($S$) можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ - стороны треугольника, а $\gamma$ - угол между ними.В условии дано, что площадь $S = 8$ см², а угол между наибольшей ($x+2$) и наименьшей ($x-2$) сторонами равен $30°$.

Подставим эти значения в формулу площади:$8 = \frac{1}{2} (x-2)(x+2) \sin(30°)$

Зная, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получим уравнение:$8 = \frac{1}{2} (x^2 - 4) \cdot \frac{1}{2}$$8 = \frac{x^2 - 4}{4}$

Решим это уравнение:$32 = x^2 - 4$$x^2 = 36$$x = 6$ или $x = -6$.

Поскольку $x$ - это длина стороны, она не может быть отрицательной. Кроме того, мы установили, что $x>4$. Следовательно, единственное подходящее решение - это $x=6$.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника:Наименьшая сторона: $x-2 = 6-2 = 4$ см.Средняя сторона: $x = 6$ см.Наибольшая сторона: $x+2 = 6+2 = 8$ см.

Периметр треугольника ($P$) - это сумма длин всех его сторон:$P = (x-2) + x + (x+2) = 3x$$P = 4 + 6 + 8 = 18$ см.

Ответ: 18 см.