Номер 492, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 492, страница 141.

Условие.

492. В арифметической прогрессии шесть членов. Сумма членов с четными номерами равна 15, а сумма членов с нечетными номерами равна 27. Найдите пятый член этой прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $a_n$ - данная арифметическая прогрессия, где $n$ - номер члена. Пусть $a_1$ - первый член прогрессии, а $d$ - ее разность.

По условию задачи, в прогрессии шесть членов. Сумма членов с четными номерами равна 15, а сумма членов с нечетными номерами равна 27. Запишем это в виде уравнений:

Сумма членов с нечетными номерами: $a_1 + a_3 + a_5 = 27$

Сумма членов с четными номерами: $a_2 + a_4 + a_6 = 15$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, чтобы выразить все члены через $a_1$ и $d$.

Подставим выражения в первое уравнение (сумма нечетных членов):

$a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 27$

Сгруппируем слагаемые:

$3a_1 + 6d = 27$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 2d = 9$ (1)

Теперь подставим выражения во второе уравнение (сумма четных членов):

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 15$

Сгруппируем слагаемые:

$3a_1 + 9d = 15$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 3d = 5$ (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} a_1 + 2d = 9 \\ a_1 + 3d = 5 \end{cases}$

Чтобы найти разность $d$, вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(a_1 + 3d) - (a_1 + 2d) = 5 - 9$

$d = -4$

Теперь, когда мы знаем разность $d$, подставим ее значение в любое из уравнений, чтобы найти первый член $a_1$. Воспользуемся уравнением (1):

$a_1 + 2(-4) = 9$

$a_1 - 8 = 9$

$a_1 = 9 + 8$

$a_1 = 17$

Задача требует найти пятый член прогрессии, $a_5$. Воспользуемся формулой n-го члена:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$:

$a_5 = 17 + 4(-4)$

$a_5 = 17 - 16$

$a_5 = 1$

Ответ: 1