Номер 485, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 485, страница 140.

Условие.

485. Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ($c_n$),

сумма которой равна 8. Причем $c_n = \frac{1}{4}$ и $\frac{c_1 + c_2 + ... + c_{n-1}}{c_{n+1} + c_{n+2} + ...} = 30.$

Найдите номер члена прогрессии, равного $\frac{1}{4}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $c_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(c_n)$, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{c_1}{1-q}$.Из условия задачи известно, что сумма прогрессии равна 8, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$\frac{c_1}{1-q} = 8$

Из этого уравнения выразим первый член прогрессии $c_1$:

$c_1 = 8(1-q)$ (1)

Рассмотрим второе условие, заданное в виде отношения сумм:

$\frac{c_1 + c_2 + ... + c_{n-1}}{c_{n+1} + c_{n+2} + ...} = 30$

Числитель этой дроби — это сумма первых $n-1$ членов геометрической прогрессии, $S_{n-1}$. Используем формулу суммы первых $k$ членов $S_k = \frac{c_1(1-q^k)}{1-q}$.Таким образом, числитель равен:

$S_{n-1} = \frac{c_1(1-q^{n-1})}{1-q}$

Поскольку мы знаем, что $\frac{c_1}{1-q} = 8$, мы можем подставить это значение в выражение для $S_{n-1}$:

$S_{n-1} = 8(1-q^{n-1})$

Знаменатель дроби, $c_{n+1} + c_{n+2} + ...$, представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая начинается с члена $c_{n+1}$ и имеет тот же знаменатель $q$. Сумма этого "остатка" прогрессии равна:

$S_{ост} = \frac{c_{n+1}}{1-q}$

Используя формулу $n$-го члена $c_k = c_1 q^{k-1}$, выразим $c_{n+1} = c_1 q^n$. Подставим это в формулу для суммы остатка:

$S_{ост} = \frac{c_1 q^n}{1-q} = q^n \cdot \frac{c_1}{1-q} = q^n \cdot 8 = 8q^n$

Теперь подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходное уравнение с отношением:

$\frac{8(1-q^{n-1})}{8q^n} = 30$

Сократив на 8, получим:

$\frac{1-q^{n-1}}{q^n} = 30$

$1-q^{n-1} = 30q^n$

$1 = 30q^n + q^{n-1}$

Вынесем общий множитель $q^{n-1}$ за скобки:

$1 = q^{n-1}(30q+1)$

Отсюда можно выразить $q^{n-1}$:

$q^{n-1} = \frac{1}{30q+1}$ (2)

Теперь используем третье условие задачи: $c_n = \frac{1}{4}$.По формуле $n$-го члена: $c_n = c_1 q^{n-1}$.

$c_1 q^{n-1} = \frac{1}{4}$ (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений (1), (2) и (3). Подставим выражение для $c_1$ из (1) и для $q^{n-1}$ из (2) в уравнение (3):

$8(1-q) \cdot \frac{1}{30q+1} = \frac{1}{4}$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$\frac{8(1-q)}{30q+1} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$4 \cdot 8(1-q) = 1 \cdot (30q+1)$

$32(1-q) = 30q+1$

$32 - 32q = 30q+1$

$31 = 62q$

$q = \frac{31}{62} = \frac{1}{2}$

Мы нашли знаменатель прогрессии. Теперь найдем первый член $c_1$, подставив значение $q$ в уравнение (1):

$c_1 = 8(1-q) = 8(1-\frac{1}{2}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

Итак, мы определили параметры прогрессии: $c_1 = 4$ и $q = \frac{1}{2}$.Осталось найти номер члена прогрессии $n$, для которого $c_n = \frac{1}{4}$. Воспользуемся формулой $n$-го члена:

$c_n = c_1 q^{n-1}$

$\frac{1}{4} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Представим левую часть как степень числа $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$4 = n-1$

$n = 5$

Таким образом, член прогрессии, равный $\frac{1}{4}$, имеет номер 5.

Ответ: 5