Номер 472, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 472, страница 139.

Условие.

472. При каких значениях $a$ сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $2a; a\sqrt{2}; a; \dots$ равна:

а) 8;

б) $2 + \sqrt{2}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи сначала определим параметры данной геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 2a$.

Второй член прогрессии $b_2 = a\sqrt{2}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a\sqrt{2}}{2a}$

При условии, что $a \ne 0$, мы можем сократить $a$ и получить:

$q = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо, чтобы модуль ее знаменателя был меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Проверим это условие: $| \frac{\sqrt{2}}{2} | = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. Так как $0.707 < 1$, условие выполняется. Это означает, что при любом $a \ne 0$ данная прогрессия является бесконечно убывающей. Если $a = 0$, то все члены прогрессии равны нулю, и ее сумма равна 0, что не соответствует условиям задачи.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{2a}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2a}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{4a}{2-\sqrt{2}}$

Теперь мы можем найти значения $a$ для каждого из предложенных случаев.

а) Найдем значение $a$, при котором сумма прогрессии равна 8.

Приравниваем выражение для суммы к 8:

$\frac{4a}{2-\sqrt{2}} = 8$

Разделим обе части на 4:

$\frac{a}{2-\sqrt{2}} = 2$

$a = 2(2-\sqrt{2})$

$a = 4 - 2\sqrt{2}$

Ответ: $a = 4 - 2\sqrt{2}$.

б) Найдем значение $a$, при котором сумма прогрессии равна $2 + \sqrt{2}$.

Приравниваем выражение для суммы к $2 + \sqrt{2}$:

$\frac{4a}{2-\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}$

Выразим $a$:

$4a = (2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})$

Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$4a = 2^2 - (\sqrt{2})^2$

$4a = 4 - 2$

$4a = 2$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.