Номер 469, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 469, страница 138.

Условие.

469. Запишите в виде дроби выражение, в котором $|x| < 1$:

а) $3 + 3x^2 + 3x^4 + \ldots + 3x^{2n} + \ldots$

; б) $1 + 2x + 2x^2 + \ldots + 2x^n + \ldots$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Данное выражение $3 + 3x^2 + 3x^4 + ... + 3x^{2n} + ...$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$.
Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив второй член на первый: $q = \frac{3x^2}{3} = x^2$.
По условию задачи $|x| < 1$, следовательно, $|q| = |x^2| = x^2 < 1$. Это означает, что прогрессия сходится, и ее сумму можно найти по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1-q}$
Подставим наши значения $b_1 = 3$ и $q = x^2$:
$S = \frac{3}{1 - x^2}$
Ответ: $\frac{3}{1 - x^2}$

б) Рассмотрим выражение $1 + 2x + 2x^2 + ... + 2x^n + ...$
Это выражение можно представить как сумму числа 1 и бесконечной геометрической прогрессии $2x + 2x^2 + ... + 2x^n + ...$.
Найдем сумму этой прогрессии. Ее первый член $b_1 = 2x$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{2x^2}{2x} = x$.
По условию $|x| < 1$, значит, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумма вычисляется по формуле $S_{prog} = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим значения $b_1 = 2x$ и $q = x$:
$S_{prog} = \frac{2x}{1-x}$
Теперь найдем сумму исходного выражения, прибавив 1 к сумме прогрессии:
$S = 1 + S_{prog} = 1 + \frac{2x}{1-x}$
Приведем к общему знаменателю:
$S = \frac{1 \cdot (1-x)}{1-x} + \frac{2x}{1-x} = \frac{1-x+2x}{1-x} = \frac{1+x}{1-x}$
Ответ: $\frac{1+x}{1-x}$