Номер 471, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 471, страница 139.

Условие.

471. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$, в которой:

a) $b_1 = 3, S = 3,5$;

в) $b_2 = -\frac{1}{2}, S = 1,6$;

б) $S_6 = \frac{7}{8}S$;

г) $19S = 27S_3$.

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $|q|<1$. По условию $b_1 = 3$ и $S = 3,5$. Подставим эти значения в формулу: $3,5 = \frac{3}{1-q}$. Отсюда выразим $1-q$: $1-q = \frac{3}{3,5} = \frac{3}{7/2} = \frac{6}{7}$. Следовательно, знаменатель $q$ равен: $q = 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$. Условие $|q|<1$ выполняется, так как $|\frac{1}{7}|<1$. Ответ: $\frac{1}{7}$.

б) Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$. Отсюда видно, что $S_n = S(1-q^n)$. По условию $S_6 = \frac{7}{8}S$. Подставим выражение для $S_6$ в это равенство: $S(1-q^6) = \frac{7}{8}S$. Так как прогрессия существует, $S \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $S$: $1-q^6 = \frac{7}{8}$. Отсюда $q^6 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$. Найдём $q$, извлекая корень шестой степени: $q = \pm \sqrt[6]{\frac{1}{8}} = \pm \sqrt[6]{\frac{1}{2^3}} = \pm (\frac{1}{2})^{3/6} = \pm (\frac{1}{2})^{1/2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Оба значения удовлетворяют условию $|q|<1$. Ответ: $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Используем формулы $S = \frac{b_1}{1-q}$ и $b_n = b_1q^{n-1}$. По условию $b_2 = -\frac{1}{2}$ и $S = 1,6$. Из формулы для второго члена имеем $b_2 = b_1q$, откуда $b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-1/2}{q} = -\frac{1}{2q}$. Подставим это выражение для $b_1$ в формулу суммы: $S = \frac{-1/(2q)}{1-q} = -\frac{1}{2q(1-q)}$. Подставляем значение $S=1,6$: $1,6 = -\frac{1}{2q-2q^2}$. Преобразуем уравнение: $1,6(2q-2q^2) = -1$, что дает $3,2q - 3,2q^2 = -1$. Перенесем все члены в левую часть и умножим на -10, чтобы избавиться от десятичных дробей и отрицательного старшего коэффициента: $32q^2 - 32q - 10 = 0$. Разделим на 2: $16q^2 - 16q - 5 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-5) = 256 + 320 = 576 = 24^2$. Корни уравнения: $q = \frac{16 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 16} = \frac{16 \pm 24}{32}$. Получаем два решения: $q_1 = \frac{16+24}{32} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$ и $q_2 = \frac{16-24}{32} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}$. Для бесконечно убывающей прогрессии должно выполняться условие $|q|<1$. Корень $q_1 = \frac{5}{4}$ не подходит, так как $|\frac{5}{4}| > 1$. Корень $q_2 = -\frac{1}{4}$ подходит, так как $|-\frac{1}{4}| < 1$. Ответ: $-\frac{1}{4}$.

г) Дано соотношение $19S = 27S_3$. Как и в пункте б), используем связь $S_n = S(1-q^n)$. Для $n=3$ получаем $S_3 = S(1-q^3)$. Подставим это выражение в исходное равенство: $19S = 27S(1-q^3)$. Так как $S \neq 0$, делим обе части на $S$: $19 = 27(1-q^3)$. Отсюда $1-q^3 = \frac{19}{27}$. Выразим $q^3$: $q^3 = 1 - \frac{19}{27} = \frac{27-19}{27} = \frac{8}{27}$. Извлекая кубический корень, находим $q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$. Проверяем условие $|q|<1$: $|\frac{2}{3}|<1$, что верно. Ответ: $\frac{2}{3}$.