Номер 474, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 474, страница 139.

Условие.

474. Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_n$), для которой сумма членов с нечетными номерами равна 3, а сумма членов с четными номерами равна 1.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$. Условие бесконечного убывания означает, что $|q| < 1$.

Сумма членов с нечетными номерами представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель равен $q^2$. Запишем эту сумму:

$S_{нечет} = b_1 + b_3 + b_5 + \dots = b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 + \dots = \frac{b_1}{1-q^2}$.

По условию задачи, эта сумма равна 3. Получаем первое уравнение:

$\frac{b_1}{1-q^2} = 3$ (1)

Сумма членов с четными номерами также представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ее первый член равен $b_2 = b_1q$, а знаменатель также равен $q^2$. Запишем эту сумму:

$S_{чет} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots = b_1q + b_1q^3 + b_1q^5 + \dots = \frac{b_1q}{1-q^2}$.

По условию задачи, эта сумма равна 1. Получаем второе уравнение:

$\frac{b_1q}{1-q^2} = 1$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q^2} = 3 \\ \frac{b_1q}{1-q^2} = 1 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это можно сделать, так как суммы не равны нулю.

$\frac{\frac{b_1q}{1-q^2}}{\frac{b_1}{1-q^2}} = \frac{1}{3}$

После сокращения дроби получаем:

$q = \frac{1}{3}$

Значение знаменателя $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, что соответствует условию бесконечно убывающей прогрессии.

Теперь подставим найденное значение $q$ в первое уравнение, чтобы найти $b_1$:

$\frac{b_1}{1-(\frac{1}{3})^2} = 3$

$\frac{b_1}{1-\frac{1}{9}} = 3$

$\frac{b_1}{\frac{8}{9}} = 3$

$b_1 = 3 \cdot \frac{8}{9}$

$b_1 = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

Таким образом, мы нашли первый член и знаменатель прогрессии.

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = \frac{8}{3}$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.