Номер 474, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 474, страница 139.
№474 (с. 139)
Условие. №474 (с. 139)
скриншот условия

474. Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_n$), для которой сумма членов с нечетными номерами равна 3, а сумма членов с четными номерами равна 1.
Решение. №474 (с. 139)

Решение 2 (rus). №474 (с. 139)
Пусть $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$. Условие бесконечного убывания означает, что $|q| < 1$.
Сумма членов с нечетными номерами представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель равен $q^2$. Запишем эту сумму:
$S_{нечет} = b_1 + b_3 + b_5 + \dots = b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 + \dots = \frac{b_1}{1-q^2}$.
По условию задачи, эта сумма равна 3. Получаем первое уравнение:
$\frac{b_1}{1-q^2} = 3$ (1)
Сумма членов с четными номерами также представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ее первый член равен $b_2 = b_1q$, а знаменатель также равен $q^2$. Запишем эту сумму:
$S_{чет} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots = b_1q + b_1q^3 + b_1q^5 + \dots = \frac{b_1q}{1-q^2}$.
По условию задачи, эта сумма равна 1. Получаем второе уравнение:
$\frac{b_1q}{1-q^2} = 1$ (2)
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q^2} = 3 \\ \frac{b_1q}{1-q^2} = 1 \end{cases}$
Разделим второе уравнение на первое. Это можно сделать, так как суммы не равны нулю.
$\frac{\frac{b_1q}{1-q^2}}{\frac{b_1}{1-q^2}} = \frac{1}{3}$
После сокращения дроби получаем:
$q = \frac{1}{3}$
Значение знаменателя $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, что соответствует условию бесконечно убывающей прогрессии.
Теперь подставим найденное значение $q$ в первое уравнение, чтобы найти $b_1$:
$\frac{b_1}{1-(\frac{1}{3})^2} = 3$
$\frac{b_1}{1-\frac{1}{9}} = 3$
$\frac{b_1}{\frac{8}{9}} = 3$
$b_1 = 3 \cdot \frac{8}{9}$
$b_1 = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
Таким образом, мы нашли первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ: первый член прогрессии $b_1 = \frac{8}{3}$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 474 расположенного на странице 139 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №474 (с. 139), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.