Вопросы, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - страница 138.

Условие.

1. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. Что принимается за сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

3. Запишите и объясните формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, у которой знаменатель $q$ по модулю меньше единицы. То есть, это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число $q$ (знаменатель прогрессии), при этом выполняется условие $|q| < 1$. Из-за этого условия каждый следующий член прогрессии по абсолютной величине меньше предыдущего, и при неограниченном увеличении номера члены прогрессии стремятся к нулю.
Ответ: Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется геометрическая прогрессия, знаменатель $q$ которой удовлетворяет условию $|q| < 1$.

2. Что принимается за сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии?
Сумма бесконечного числа слагаемых определяется через понятие предела. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют предел последовательности частичных сумм этой прогрессии. Частичная сумма $S_n$ — это сумма первых $n$ членов прогрессии. Когда число членов $n$ неограниченно возрастает ($n \to \infty$), эта сумма $S_n$ стремится к некоторому конечному числу, которое и принимают за сумму всей прогрессии.
Ответ: За сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии принимается предел суммы ее первых $n$ членов при $n \to \infty$.

3. Запишите и объясните формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Формула для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$
Здесь $S$ – это сумма прогрессии, $b_1$ – ее первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии ($|q| < 1$).
Объяснение: Эта формула является следствием формулы суммы первых $n$ членов обычной геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Поскольку для бесконечно убывающей прогрессии знаменатель $|q| < 1$, то при неограниченном росте $n$ ($n \to \infty$) величина $q^n$ будет стремиться к нулю. Например, если $q = 0.5$, то последовательность $q^n$ будет выглядеть как $0.5, 0.25, 0.125, \dots$, что очевидно стремится к 0.
Таким образом, находя предел суммы $S_n$ при $n \to \infty$, мы получаем:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{b_1(1 - \lim_{n \to \infty} q^n)}{1 - q} = \frac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \frac{b_1}{1 - q}$.
Ответ: Формула суммы $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Она выводится из формулы суммы $n$ членов $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ путем вычисления ее предела при $n \to \infty$ с учетом того, что для прогрессии с $|q|<1$ выражение $q^n$ стремится к нулю.