Вопросы, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.

Тип: Учебник

Издательство: Кокшетау

Год издания: 2019 - 2025

Цвет обложки:

ISBN: 978-601-317-424-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан

Популярные ГДЗ в 9 классе

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - страница 138.

Вопросы (с. 138)
Условие. Вопросы (с. 138)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 138, Условие

1. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. Что принимается за сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

3. Запишите и объясните формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Решение. Вопросы (с. 138)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 138, Решение
Решение 2 (rus). Вопросы (с. 138)

1. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, у которой знаменатель $q$ по модулю меньше единицы. То есть, это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число $q$ (знаменатель прогрессии), при этом выполняется условие $|q| < 1$. Из-за этого условия каждый следующий член прогрессии по абсолютной величине меньше предыдущего, и при неограниченном увеличении номера члены прогрессии стремятся к нулю.
Ответ: Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется геометрическая прогрессия, знаменатель $q$ которой удовлетворяет условию $|q| < 1$.

2. Что принимается за сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии?
Сумма бесконечного числа слагаемых определяется через понятие предела. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют предел последовательности частичных сумм этой прогрессии. Частичная сумма $S_n$ — это сумма первых $n$ членов прогрессии. Когда число членов $n$ неограниченно возрастает ($n \to \infty$), эта сумма $S_n$ стремится к некоторому конечному числу, которое и принимают за сумму всей прогрессии.
Ответ: За сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии принимается предел суммы ее первых $n$ членов при $n \to \infty$.

3. Запишите и объясните формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Формула для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$
Здесь $S$ – это сумма прогрессии, $b_1$ – ее первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии ($|q| < 1$).
Объяснение: Эта формула является следствием формулы суммы первых $n$ членов обычной геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Поскольку для бесконечно убывающей прогрессии знаменатель $|q| < 1$, то при неограниченном росте $n$ ($n \to \infty$) величина $q^n$ будет стремиться к нулю. Например, если $q = 0.5$, то последовательность $q^n$ будет выглядеть как $0.5, 0.25, 0.125, \dots$, что очевидно стремится к 0.
Таким образом, находя предел суммы $S_n$ при $n \to \infty$, мы получаем:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{b_1(1 - \lim_{n \to \infty} q^n)}{1 - q} = \frac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \frac{b_1}{1 - q}$.
Ответ: Формула суммы $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Она выводится из формулы суммы $n$ членов $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ путем вычисления ее предела при $n \to \infty$ с учетом того, что для прогрессии с $|q|<1$ выражение $q^n$ стремится к нулю.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения Вопросы расположенного на странице 138 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению Вопросы (с. 138), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.