Номер 459, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 459, страница 133.

Условие.

459. По легенде индийский царь позволил изобретателю игры в шахматы самому себе назначить награду. Тот просил, чтобы дали ему зерен пшеницы: за первую клетку – одно зерно, за вторую – два зерна и так далее до последней 64-й клетки за каждую последующую в 2 раза больше, чем за предыдущую.

а) Сколько зерен пшеницы просил он? Как прочитать это число?

б) Найдите примерный вес этого зерна в тоннах, если вес одного зерна $ \approx 0.065 \text{ грамма}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Сколько зерен пшеницы просил он? Как прочитать это число?

Количество зерен на каждой клетке шахматной доски образует геометрическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$ (зерно на первой клетке), знаменатель прогрессии $q = 2$ (количество зерен удваивается на каждой следующей клетке), а количество членов прогрессии $n = 64$ (по числу клеток на доске).

Чтобы найти общее количество зерен, нужно вычислить сумму первых 64 членов этой прогрессии. Формула суммы $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения для $n=64$:

$S_{64} = \frac{1 \cdot (2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1$

Сначала вычислим степень $2^{64}$:

$2^{64} = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,616$

Теперь вычтем единицу, чтобы найти общее количество зерен:

$S_{64} = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,616 - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$

Это число читается как: восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

Ответ: Изобретатель попросил $18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ зерен пшеницы. Это число читается как восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

б) Найдите примерный вес этого зерна в тоннах, если вес одного зерна ≈ 0,065 грамма.

Чтобы найти общий вес зерна, умножим их количество на вес одного зерна. Вес одного зерна по условию равен примерно $0,065$ грамма.

Общий вес в граммах ($M_г$) составляет:

$M_г = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615 \times 0.065 \text{ г} \approx 1\,199\,038\,364\,791\,120\,855 \text{ г}$

Для упрощения дальнейших расчетов будем использовать приближенное значение, выраженное в научной нотации. Общее число зерен примерно равно $1.845 \times 10^{19}$.

$M_г \approx 1.845 \times 10^{19} \times 0.065 \text{ г} \approx 1.2 \times 10^{18} \text{ г}$

Теперь переведем вес из граммов в тонны. В одной тонне $1\,000$ килограммов, а в одном килограмме $1\,000$ граммов, следовательно:

$1 \text{ тонна} = 1\,000 \times 1\,000 = 1\,000\,000 \text{ граммов} = 10^6 \text{ г}$

Разделим общий вес в граммах на количество граммов в одной тонне, чтобы найти вес в тоннах ($M_т$):

$M_т \approx \frac{1.2 \times 10^{18} \text{ г}}{10^6 \text{ г/т}} = 1.2 \times 10^{12} \text{ т}$

Это значение равно $1\,200$ миллиардам тонн, или $1,2$ триллиона тонн.

Ответ: Примерный вес зерна составляет $1,2 \times 10^{12}$ тонн (один триллион двести миллиардов тонн).