Номер 456, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 456, страница 132.

Условие.

456. Докажите, что если сумму $n$ первых членов последовательности $(b_n)$ можно найти по формуле $S_n = 2^n - 1$, то $(b_n)$ – геометрическая прогрессия.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы доказать, что последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена (начиная со второго) к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии $q$. То есть, нам нужно доказать, что $\frac{b_n}{b_{n-1}} = q$ для всех $n \ge 2$, где $q$ - константа.

Сумма $n$ первых членов последовательности $S_n$ связана с ее членами $b_n$. В частности, $n$-й член последовательности можно найти как разность между суммой $n$ первых членов и суммой $n-1$ первых членов (для $n \ge 2$), а первый член равен сумме первого члена:$b_1 = S_1$$b_n = S_n - S_{n-1}$ для $n \ge 2$.

Используя данную в условии формулу $S_n = 2^n - 1$, найдем члены последовательности $(b_n)$.

Найдем первый член последовательности $b_1$:$b_1 = S_1 = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1$.

Теперь найдем формулу для $n$-го члена последовательности $b_n$ при $n \ge 2$:$S_{n-1} = 2^{n-1} - 1$.$b_n = S_n - S_{n-1} = (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) = 2^n - 1 - 2^{n-1} + 1 = 2^n - 2^{n-1}$.

Вынесем общий множитель $2^{n-1}$ за скобки:$b_n = 2^{n-1}(2^1 - 1) = 2^{n-1}(1) = 2^{n-1}$.

Проверим, соответствует ли эта формула для $n=1$ найденному значению $b_1$:$b_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1$.Результат совпадает. Следовательно, формула $b_n = 2^{n-1}$ верна для всех натуральных $n$.

Теперь, чтобы доказать, что $(b_n)$ является геометрической прогрессией, найдем отношение $\frac{b_n}{b_{n-1}}$ для $n \ge 2$:$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{2^{n-1}}{2^{(n-1)-1}} = \frac{2^{n-1}}{2^{n-2}} = 2^{(n-1)-(n-2)} = 2^{n-1-n+2} = 2^1 = 2$.

Так как отношение $\frac{b_n}{b_{n-1}}$ равно постоянному числу $2$ для любого $n \ge 2$, то последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = 2$.

Ответ: Последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, что и требовалось доказать.