Номер 449, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 449, страница 131.

Условие.

449. Докажите, что последовательность, заданная формулой $c_n = \frac{6^{n-1}}{18}$, является геометрической прогрессией. Найдите $c_1$ и $S_4$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Докажите, что последовательность, заданная формулой $c_n = \frac{6^{n-1}}{18}$, является геометрической прогрессией

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену есть величина постоянная. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Для доказательства найдем отношение члена $c_{n+1}$ к члену $c_n$.

Запишем формулу для $(n+1)$-го члена последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:
$c_{n+1} = \frac{6^{(n+1)-1}}{18} = \frac{6^n}{18}$

Теперь найдем отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$:
$q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{\frac{6^n}{18}}{\frac{6^{n-1}}{18}} = \frac{6^n}{18} \cdot \frac{18}{6^{n-1}} = \frac{6^n}{6^{n-1}} = 6^{n - (n-1)} = 6^1 = 6$

Поскольку отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ равно постоянному числу 6 и не зависит от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=6$.

Найдите $c_1$ и $S_4$

Найдем первый член прогрессии $c_1$, подставив в заданную формулу $n=1$:
$c_1 = \frac{6^{1-1}}{18} = \frac{6^0}{18} = \frac{1}{18}$

Далее найдем сумму первых четырех членов прогрессии $S_4$. Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в формулу известные значения: $c_1 = \frac{1}{18}$, $q=6$ и $n=4$.
$S_4 = \frac{\frac{1}{18}(6^4 - 1)}{6 - 1} = \frac{\frac{1}{18}(1296 - 1)}{5} = \frac{\frac{1}{18} \cdot 1295}{5} = \frac{1295}{18 \cdot 5}$

Сократим полученную дробь на 5:
$S_4 = \frac{1295 \div 5}{90 \div 5} = \frac{259}{18}$

При желании можно выделить целую часть: $S_4 = 14 \frac{7}{18}$.

Ответ: $c_1 = \frac{1}{18}$, $S_4 = \frac{259}{18}$.