Номер 443, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 443, страница 130.

Условие.

443. Запишите в виде дроби выражение, в котором $x \neq 1$:

а) $1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^{10}$.

б) $x - x^3 + x^5 - x^7 + x^9 - x^{11}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Данное выражение $1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^{10}$ является суммой конечной геометрической прогрессии, состоящей из 6 членов. Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = x^2$. Сумму $n$ членов геометрической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставив в нее значения $b_1=1$, $q=x^2$ и $n=6$, получим:
$S_6 = \frac{1 \cdot ((x^2)^6 - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^{12} - 1}{x^2 - 1}$.
Условие $x \neq 1$ в задаче гарантирует, что знаменатель дроби не равен нулю (также подразумевается, что $x \neq -1$).
Ответ: $\frac{x^{12} - 1}{x^2 - 1}$

б) Выражение $x - x^3 + x^5 - x^7 + x^9 - x^{11}$ также является суммой 6 членов геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{-x^3}{x} = -x^2$. Воспользуемся той же формулой для суммы $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим значения $b_1=x$, $q=-x^2$ и $n=6$:
$S_6 = \frac{x \cdot ((-x^2)^6 - 1)}{-x^2 - 1} = \frac{x \cdot (x^{12} - 1)}{-(x^2 + 1)} = \frac{x(1 - x^{12})}{x^2 + 1}$.
Знаменатель $x^2 + 1$ не обращается в ноль ни при каких действительных значениях $x$.
Ответ: $\frac{x(1 - x^{12})}{1 + x^2}$