Номер 437, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 437, страница 127.

Условие.

437. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, в которой $b_1 < 0$ и сумма $b_1 + b_2 + b_3$ принимает наибольшее значение.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана геометрическая прогрессия ($b_n$) с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

По условию задачи, первый член прогрессии отрицателен: $b_1 < 0$.

Нам необходимо найти значение знаменателя $q$, при котором сумма первых трех членов прогрессии $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$ принимает наибольшее значение.

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

Тогда сумма $S_3$ равна:

$S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$S_3 = b_1(1 + q + q^2)$

Рассмотрим это выражение как функцию от $q$: $S_3(q) = b_1(q^2 + q + 1)$.

Так как по условию $b_1$ является постоянным отрицательным числом ($b_1 < 0$), то для того, чтобы произведение $b_1(q^2 + q + 1)$ было максимальным, необходимо, чтобы множитель $(q^2 + q + 1)$ был минимальным (так как при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный).

Выражение $f(q) = q^2 + q + 1$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $q^2$ равен 1, что больше нуля). Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = aq^2 + bq + c$ находится по формуле $q_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=1$. Найдем значение $q$, при котором достигается минимум функции $f(q)$:

$q = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$

Таким образом, при $q = -0.5$ выражение $(q^2 + q + 1)$ принимает наименьшее значение, а следовательно, сумма $S_3 = b_1(q^2 + q + 1)$ принимает наибольшее значение.

Проверим с помощью производной. Найдем производную функции $S_3(q)$ по $q$:

$S_3'(q) = (b_1(q^2 + q + 1))' = b_1(2q + 1)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:

$b_1(2q + 1) = 0$

Так как $b_1 \neq 0$, то $2q + 1 = 0$, откуда $q = -0.5$.

Найдем вторую производную, чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума:

$S_3''(q) = (b_1(2q + 1))' = 2b_1$

Поскольку $b_1 < 0$, то $S_3''(q) = 2b_1 < 0$. Это означает, что в точке $q = -0.5$ функция $S_3(q)$ достигает максимума.

Ответ: -0.5