Номер 434, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 434, страница 127.

Условие.

434. Исследуйте, существует ли геометрическая прогрессия, в которой каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Если существует, то найдите ее знаменатель.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $b_n$ — искомая геометрическая прогрессия, где $b_1$ — ее первый член, а $q$ — ее знаменатель. По определению геометрической прогрессии, любой ее член $b_n$ может быть выражен через первый член и знаменатель по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, каждый член прогрессии, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Это можно записать в виде рекуррентного соотношения: $b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$ для всех $n \ge 3$.

Рассмотрим это соотношение для наименьшего возможного значения $n$, то есть для $n=3$:

$b_3 = b_2 + b_1$

Теперь выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_1 \cdot q^2 = b_1 \cdot q + b_1$

Рассмотрим два случая.

1. Если $b_1 = 0$, то все члены прогрессии равны нулю ($b_n = 0$ для всех $n$). В этом случае условие $b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$ выполняется, так как $0 = 0 + 0$. Это вырожденный случай, и знаменатель $q$ может быть любым числом. Обычно ищут нетривиальные решения.

2. Если $b_1 \neq 0$, то мы можем разделить обе части уравнения $b_1 q^2 = b_1 q + b_1$ на $b_1$:

$q^2 = q + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$q^2 - q - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $q$, используя формулу для нахождения корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$q_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$q_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Мы нашли возможные значения знаменателя, исходя из условия для $n=3$. Необходимо проверить, что при этих значениях $q$ условие $b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$ будет выполняться для всех $n > 3$. Запишем общее условие в терминах $b_1$ и $q$:

$b_1 q^{n-1} = b_1 q^{n-2} + b_1 q^{n-3}$

При $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$ (найденные нами корни не равны нулю), мы можем разделить обе части на $b_1 q^{n-3}$:

$q^2 = q + 1$

Это то же самое уравнение, которое мы уже решили. Это означает, что если знаменатель $q$ является корнем этого уравнения, то рекуррентное соотношение будет выполняться для любого $n \ge 3$.

Таким образом, мы доказали, что такая геометрическая прогрессия существует.

Ответ: Да, такая геометрическая прогрессия существует. Ее знаменатель может принимать одно из двух значений: $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ или $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.