Номер 428, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 428, страница 126.

Условие.

428.a) Третий член геометрической прогрессии равен $-3$. Найдите произведение первых пяти членов этой прогрессии.

б) Найдите произведение первых двадцати членов геометрической прогрессии ($b_n$), в которой $b_1 = 0,1$, $b_{20} = 20$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Пусть $b_n$ – данная геометрическая прогрессия, $b_1$ – ее первый член, а $q$ – знаменатель. Нам известен третий член прогрессии: $b_3 = -3$.

Необходимо найти произведение первых пяти членов прогрессии, которое обозначим как $P_5$:

$P_5 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5$.

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, выразим произведение через $b_1$ и $q$:

$P_5 = b_1 \cdot (b_1 q) \cdot (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) \cdot (b_1 q^4) = b_1^5 q^{1+2+3+4} = b_1^5 q^{10}$.

Полученное выражение можно переписать как $P_5 = (b_1 q^2)^5$.

Поскольку третий член прогрессии $b_3$ равен $b_1 q^2$, мы можем заменить $b_1 q^2$ на $b_3$:

$P_5 = (b_3)^5$.

Подставим данное значение $b_3 = -3$ и вычислим произведение:

$P_5 = (-3)^5 = -243$.

Ответ: -243

б)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$, в которой известны первый и двадцатый члены: $b_1 = 0,1$ и $b_{20} = 20$.

Нужно найти произведение первых двадцати членов этой прогрессии: $P_{20} = b_1 \cdot b_2 \cdot \dots \cdot b_{20}$.

Воспользуемся свойством членов геометрической прогрессии: произведение членов, равноудаленных от концов, постоянно и равно произведению первого и последнего членов.

То есть, для любого $k$ от 1 до 20 выполняется равенство: $b_k \cdot b_{21-k} = b_1 \cdot b_{20}$.

Например, $b_2 \cdot b_{19} = (b_1 q) \cdot (b_1 q^{18}) = b_1^2 q^{19}$, и $b_1 \cdot b_{20} = b_1 \cdot (b_1 q^{19}) = b_1^2 q^{19}$.

Мы можем сгруппировать множители в произведении $P_{20}$ в пары с одинаковым произведением:

$P_{20} = (b_1 \cdot b_{20}) \cdot (b_2 \cdot b_{19}) \cdot (b_3 \cdot b_{18}) \cdot \dots \cdot (b_{10} \cdot b_{11})$.

Всего в произведении 20 членов, значит, мы можем составить $20 / 2 = 10$ таких пар.

Произведение в каждой паре равно $b_1 \cdot b_{20}$. Вычислим его значение:

$b_1 \cdot b_{20} = 0,1 \cdot 20 = 2$.

Следовательно, произведение $P_{20}$ является произведением десяти пар, каждая из которых равна 2. Это можно записать как степень:

$P_{20} = (b_1 \cdot b_{20})^{10} = 2^{10}$.

Вычислим значение:

$2^{10} = 1024$.

Ответ: 1024