Номер 426, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 426, страница 126.

Условие.

426. Исследуйте, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой ее n-го члена:

a) $x_n = 2 \cdot 4^n$;

б) $y_n = 81 \cdot 3^{1-n}, n \in \mathbb{N}$.

Если является, то укажите ее первый член и знаменатель.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Чтобы исследовать, является ли последовательность, заданная формулой $x_n = 2 \cdot 4^n$, геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение последующего члена к предыдущему постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$: $x_{n+1} = 2 \cdot 4^{n+1}$.

Теперь найдем отношение $x_{n+1}$ к $x_n$: $q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{2 \cdot 4^{n+1}}{2 \cdot 4^n} = \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4^{(n+1)-n} = 4^1 = 4$.

Так как отношение $q$ является постоянным числом (не зависит от $n$), последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем ее первый член, подставив $n=1$ в исходную формулу: $x_1 = 2 \cdot 4^1 = 2 \cdot 4 = 8$.

Знаменатель прогрессии мы уже нашли: $q = 4$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией, ее первый член $x_1 = 8$, знаменатель $q = 4$.

б)

Исследуем последовательность, заданную формулой $y_n = 81 \cdot 3^{1-n}$. Аналогично пункту а), найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = 81 \cdot 3^{1-(n+1)} = 81 \cdot 3^{1-n-1} = 81 \cdot 3^{-n}$.

Найдем отношение $y_{n+1}$ к $y_n$: $q = \frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{81 \cdot 3^{-n}}{81 \cdot 3^{1-n}} = \frac{3^{-n}}{3^{1-n}} = 3^{-n - (1-n)} = 3^{-n-1+n} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Так как отношение $q$ является постоянным числом (не зависит от $n$), последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем ее первый член, подставив $n=1$: $y_1 = 81 \cdot 3^{1-1} = 81 \cdot 3^0 = 81 \cdot 1 = 81$.

Знаменатель прогрессии равен $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией, ее первый член $y_1 = 81$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.