Номер 421, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 421, страница 125.

Условие.

421. Запишите формулу $n$-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) и найдите $b_5$, если:

а) $b_1 = 54, q = \frac{1}{3}$;

б) $b_1 = 16\sqrt{2}, q = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $b_1 = 6,25, q = \frac{1}{5}$;

г) $b_1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}, q = -\sqrt{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Общая формула n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – ее знаменатель.

Для нахождения пятого члена прогрессии ($b_5$) воспользуемся этой формулой, подставив $n=5$: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

а) Дано: $b_1 = 54$, $q = \frac{1}{3}$.

Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = 54 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$.

Найдем $b_5$:

$b_5 = 54 \cdot (\frac{1}{3})^4 = 54 \cdot \frac{1}{3^4} = 54 \cdot \frac{1}{81} = \frac{54}{81} = \frac{2 \cdot 27}{3 \cdot 27} = \frac{2}{3}$.

Ответ: формула n-го члена $b_n = 54 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$; $b_5 = \frac{2}{3}$.

б) Дано: $b_1 = 16\sqrt{2}$, $q = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = 16\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}$.

Найдем $b_5$:

$b_5 = 16\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})^4 = 16\sqrt{2} \cdot \frac{(\sqrt{2})^4}{2^4} = 16\sqrt{2} \cdot \frac{4}{16} = 16\sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: формула n-го члена $b_n = 16\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}$; $b_5 = 4\sqrt{2}$.

в) Дано: $b_1 = 6,25$, $q = \frac{1}{5}$.

Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = 6,25 \cdot (\frac{1}{5})^{n-1}$.

Найдем $b_5$. Представим $6,25$ в виде дроби: $6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4}$.

$b_5 = 6,25 \cdot (\frac{1}{5})^4 = \frac{25}{4} \cdot \frac{1}{5^4} = \frac{25}{4} \cdot \frac{1}{625} = \frac{25}{4 \cdot 25 \cdot 25} = \frac{1}{4 \cdot 25} = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: формула n-го члена $b_n = 6,25 \cdot (\frac{1}{5})^{n-1}$; $b_5 = 0,01$.

г) Дано: $b_1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $q = -\sqrt{3}$.

Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-\sqrt{3})^{n-1}$.

Найдем $b_5$:

$b_5 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-\sqrt{3})^4 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\sqrt{3})^4 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot ((\sqrt{3})^2)^2 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3^2 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 9 = -3\sqrt{3}$.

Ответ: формула n-го члена $b_n = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-\sqrt{3})^{n-1}$; $b_5 = -3\sqrt{3}$.