Номер 416, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 416, страница 120.

Условие.

416. Дана конечная арифметическая прогрессия $\frac{x-1}{x}; \frac{x-2}{x}; \frac{x-3}{x}; \dots ; \frac{1}{x}$.

Найдите:

а) сумму всех ее членов;

б) сумму членов с номерами, принадлежащими области определения функции $y = \sqrt{-n^2 + 27n - 170}$, где $n \in N$.

Решение.

Решение 2 (rus).

a)

Дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$.

Первый член прогрессии $a_1 = \frac{x-1}{x}$.

Второй член прогрессии $a_2 = \frac{x-2}{x}$.

Последний член прогрессии $a_k = \frac{1}{x}$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = \frac{x-2}{x} - \frac{x-1}{x} = \frac{(x-2) - (x-1)}{x} = \frac{x-2-x+1}{x} = -\frac{1}{x}$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Чтобы найти общее количество членов в прогрессии, которое мы обозначим $k$, подставим в формулу значение последнего члена $a_k$:

$\frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} + (k-1)(-\frac{1}{x})$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии $x \neq 0$):

$1 = (x-1) - (k-1)$

$1 = x - 1 - k + 1$

$1 = x - k$

Отсюда, количество членов прогрессии $k = x - 1$.

Сумма всех членов конечной арифметической прогрессии находится по формуле $S_k = \frac{k}{2}(a_1 + a_k)$.

Подставим найденные значения $k$, $a_1$ и $a_k$:

$S_{x-1} = \frac{x-1}{2} \left(\frac{x-1}{x} + \frac{1}{x}\right) = \frac{x-1}{2} \left(\frac{x-1+1}{x}\right) = \frac{x-1}{2} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x-1}{2}$.

Ответ: $\frac{x-1}{2}$.

б)

Требуется найти сумму членов прогрессии, номера которых $n$ принадлежат области определения функции $y = \sqrt{-n^2 + 27n - 170}$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Область определения данной функции задается условием, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$-n^2 + 27n - 170 \ge 0$

Умножим неравенство на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$n^2 - 27n + 170 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $n^2 - 27n + 170 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 170 = 729 - 680 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$n_1 = \frac{27 - 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{27 + 7}{2} = \frac{34}{2} = 17$

Графиком функции $f(n) = n^2 - 27n + 170$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $f(n) \le 0$ выполняется для $n$, находящихся между корнями, включая сами корни: $10 \le n \le 17$.

Так как $n$ — натуральное число, то нас интересуют номера членов: $10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17$.

Нам нужно найти сумму этих членов: $S = a_{10} + a_{11} + \dots + a_{17}$.

Эта последовательность также является арифметической прогрессией, состоящей из $17 - 10 + 1 = 8$ членов.

Найдем первый и последний члены этой новой последовательности, используя общую формулу для члена исходной прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{x-1}{x} + (n-1)(-\frac{1}{x}) = \frac{x-n}{x}$.

Первый член (с номером 10): $a_{10} = \frac{x-10}{x}$.

Последний член (с номером 17): $a_{17} = \frac{x-17}{x}$.

Найдем сумму этих 8 членов по формуле суммы арифметической прогрессии:

$S = \frac{\text{количество членов}}{2} \cdot (\text{первый член} + \text{последний член})$

$S = \frac{8}{2} \left(a_{10} + a_{17}\right) = 4 \left(\frac{x-10}{x} + \frac{x-17}{x}\right) = 4 \left(\frac{x-10+x-17}{x}\right) = 4 \left(\frac{2x-27}{x}\right) = \frac{8x-108}{x}$.

Ответ: $\frac{8x-108}{x}$.