Номер 411, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 411, страница 120.

Условие.

411. Сколько шаров одинакового радиуса можно расположить в виде равностороннего треугольника (как на рисунке 39) или прямоугольника так, чтобы на стороне треугольника и большей стороне прямоугольника располагалось одинаковое количество шаров, а на меньшей стороне прямоугольника – на 3 шара меньше?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение, основанное на количестве шаров в каждой из фигур.

1. Определение переменных и формул

Пусть $n$ — количество шаров, расположенных на стороне равностороннего треугольника. Согласно условию, это же количество шаров находится на большей стороне прямоугольника.

На меньшей стороне прямоугольника находится на 3 шара меньше, то есть $n - 3$ шаров.

Общее количество шаров в фигуре, сложенной в виде равностороннего треугольника со стороной $n$, является суммой арифметической прогрессии $1 + 2 + \dots + n$. Эта сумма вычисляется по формуле треугольного числа:

$N_{треуг} = \frac{n(n+1)}{2}$

Общее количество шаров в прямоугольнике со сторонами $n$ и $n-3$ вычисляется как произведение его сторон:

$N_{прямоуг} = n \cdot (n-3)$

Поскольку количество шаров на меньшей стороне должно быть положительным, необходимо условие $n - 3 > 0$, что означает $n > 3$.

2. Составление и решение уравнения

По условию задачи, общее количество шаров в обеих конфигурациях одинаково, поэтому мы можем приравнять полученные выражения:

$\frac{n(n+1)}{2} = n(n-3)$

Поскольку мы знаем, что $n > 3$, то $n$ не равно нулю, и мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $n$:

$\frac{n+1}{2} = n-3$

Теперь решим это линейное уравнение. Умножим обе части на 2:

$n+1 = 2(n-3)$

$n+1 = 2n - 6$

Перенесем члены с $n$ в правую часть, а числовые значения — в левую:

$1+6 = 2n - n$

$7 = n$

Таким образом, на стороне треугольника (и на большей стороне прямоугольника) располагается 7 шаров.

3. Расчет общего количества шаров

Теперь, зная значение $n=7$, мы можем рассчитать общее количество шаров, используя любую из двух формул.

Для треугольника:

$N_{треуг} = \frac{7(7+1)}{2} = \frac{7 \cdot 8}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Для прямоугольника:

$N_{прямоуг} = 7 \cdot (7-3) = 7 \cdot 4 = 28$

Оба расчета дают одинаковый результат, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 28