Номер 407, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 407, страница 119.

Условие.

407. Найдите сумму положительных членов арифметической прогрессии $50$; $43$; \ldots

Решение.

Решение 2 (rus).

Дана арифметическая прогрессия. Найдем ее параметры. Первый член прогрессии $a_1 = 50$. Второй член прогрессии $a_2 = 43$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна: $d = a_2 - a_1 = 43 - 50 = -7$.

Поскольку разность прогрессии отрицательна, ее члены убывают. Нам необходимо найти сумму всех положительных членов. Для этого сначала определим, сколько в этой прогрессии положительных членов. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Чтобы найти количество положительных членов, решим неравенство $a_n > 0$: $50 + (n-1)(-7) > 0$ $50 - 7n + 7 > 0$ $57 - 7n > 0$ $57 > 7n$ $n < \frac{57}{7}$ $n < 8 \frac{1}{7}$

Так как $n$ (порядковый номер члена) должно быть целым числом, то в данной прогрессии 8 положительных членов (для $n = 1, 2, ..., 8$).

Теперь необходимо найти сумму этих 8 членов ($S_8$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $a_1 = 50$, $d = -7$ и $n = 8$: $S_8 = \frac{2 \cdot 50 + (-7)(8-1)}{2} \cdot 8$ $S_8 = \frac{100 - 7 \cdot 7}{2} \cdot 8$ $S_8 = \frac{100 - 49}{2} \cdot 8$ $S_8 = \frac{51}{2} \cdot 8$ $S_8 = 51 \cdot 4 = 204$.

Таким образом, сумма всех положительных членов данной арифметической прогрессии равна 204.

Ответ: 204