Номер 414, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 414, страница 120.

Условие.

414. Докажите, что сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии может быть задана либо квадратичной функцией, либо линейной функцией.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Формула для нахождения суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Раскроем скобки и преобразуем это выражение, чтобы выразить $S_n$ как функцию от $n$:

$S_n = \frac{2a_1n + dn(n-1)}{2} = \frac{2a_1n + dn^2 - dn}{2} = \frac{d}{2}n^2 + \frac{2a_1 - d}{2}n$

Полученное выражение $S_n = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n$ является многочленом от переменной $n$. Проанализируем его в зависимости от значения разности $d$.

Случай 1: $d \neq 0$

Если разность арифметической прогрессии не равна нулю, то коэффициент при $n^2$, равный $\frac{d}{2}$, также не равен нулю. В этом случае функция $S_n$ от $n$ является квадратичной функцией вида $f(n) = An^2 + Bn$, где $A = \frac{d}{2}$ и $B = a_1 - \frac{d}{2}$.

Случай 2: $d = 0$

Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны первому члену $a_1$. Подставим $d=0$ в выведенную формулу:

$S_n = \frac{0}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{0}{2}\right)n = 0 \cdot n^2 + a_1n = a_1n$

В этом случае функция $S_n$ от $n$ является линейной функцией вида $f(n) = kn$, где $k = a_1$.

Таким образом, мы показали, что сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии всегда может быть представлена либо квадратичной функцией (когда $d \neq 0$), либо линейной функцией (когда $d = 0$).

Ответ: Выражение для суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии $S_n$ можно записать в виде $S_n = \frac{d}{2}n^2 + (a_1 - \frac{d}{2})n$. Если разность прогрессии $d \neq 0$, то это квадратичная функция от $n$. Если $d = 0$, то $S_n = a_1n$, что является линейной функцией от $n$. Таким образом, утверждение доказано.