Номер 419, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 419, страница 125.

Условие.

419. Определите, является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) 0,5; 5; 50; 500;

б) 5; 5,5; 5,55; 5,555;

в) 4; 0,4; 0,04; 0,004;

г) $-\frac{1}{8}$; $\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{2}$; 1; -2.

Решение.

Решение 2 (rus).

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии ($q$). Для того чтобы определить, является ли последовательность геометрической прогрессией, необходимо проверить, постоянно ли отношение каждого последующего члена к предыдущему ($q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$).

а) 0,5; 5; 50; 500;
Обозначим члены последовательности: $b_1 = 0,5$; $b_2 = 5$; $b_3 = 50$; $b_4 = 500$.
Найдем отношение второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{0,5} = 10$.
Найдем отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{50}{5} = 10$.
Найдем отношение четвертого члена к третьему:
$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{500}{50} = 10$.
Поскольку отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно 10, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, является.

б) 5; 5,5; 5,55; 5,555;
Обозначим члены последовательности: $b_1 = 5$; $b_2 = 5,5$; $b_3 = 5,55$; $b_4 = 5,555$.
Найдем отношение второго члена к первому:
$q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5,5}{5} = 1,1$.
Найдем отношение третьего члена ко второму:
$q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{5,55}{5,5} = \frac{555}{550} = \frac{111}{110}$.
Сравним полученные отношения: $q_1 = 1,1 = \frac{11}{10} = \frac{121}{110}$. Так как $\frac{121}{110} \neq \frac{111}{110}$, то $q_1 \neq q_2$.
Поскольку отношение не является постоянным, данная последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: нет, не является.

в) 4; 0,4; 0,04; 0,004;
Обозначим члены последовательности: $b_1 = 4$; $b_2 = 0,4$; $b_3 = 0,04$; $b_4 = 0,004$.
Найдем отношение второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,4}{4} = 0,1$.
Найдем отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{0,04}{0,4} = 0,1$.
Найдем отношение четвертого члена к третьему:
$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{0,004}{0,04} = 0,1$.
Поскольку отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно 0,1, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, является.

г) $-\frac{1}{8}$; $\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{2}$; 1; -2.
Обозначим члены последовательности: $b_1 = -\frac{1}{8}$; $b_2 = \frac{1}{4}$; $b_3 = -\frac{1}{2}$; $b_4 = 1$; $b_5 = -2$.
Найдем отношение второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{-1/8} = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{8}{1}) = -2$.
Найдем отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-1/2}{1/4} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = -2$.
Найдем отношение четвертого члена к третьему:
$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{1}{-1/2} = 1 \cdot (-\frac{2}{1}) = -2$.
Найдем отношение пятого члена к четвертому:
$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{-2}{1} = -2$.
Поскольку отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно -2, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, является.