Номер 415, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 415, страница 120.

Условие.

415. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии ($a_n$), если сумма $n$ первых ее членов вычисляется по формуле:

a) $S_n = 5n^2 - 8n$;

б) $S_n = n - \frac{n^2}{16}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $a_1$ и ее разности $d$, воспользуемся связью между членом прогрессии и суммой ее первых $n$ членов.Первый член прогрессии $a_1$ равен сумме первого члена $S_1$.

Подставим $n=1$ в заданную формулу $S_n = 5n^2 - 8n$:

$a_1 = S_1 = 5(1)^2 - 8(1) = 5 - 8 = -3$.

Сумма первых двух членов $S_2$ равна $a_1 + a_2$. Найдем $S_2$, подставив $n=2$:

$S_2 = 5(2)^2 - 8(2) = 5 \cdot 4 - 16 = 20 - 16 = 4$.

Теперь мы можем найти второй член прогрессии $a_2$:

$a_2 = S_2 - a_1 = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами, например, $d = a_2 - a_1$.

$d = 7 - (-3) = 7 + 3 = 10$.

Ответ: $a_1 = -3$, $d = 10$.

б) Аналогично решим для формулы $S_n = n - \frac{n^2}{16}$.

Найдем первый член $a_1$, вычислив $S_1$:

$a_1 = S_1 = 1 - \frac{1^2}{16} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

Найдем сумму первых двух членов $S_2$, подставив $n=2$:

$S_2 = 2 - \frac{2^2}{16} = 2 - \frac{4}{16} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

Найдем второй член прогрессии $a_2$:

$a_2 = S_2 - a_1 = \frac{7}{4} - \frac{15}{16}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 16:

$a_2 = \frac{7 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} = \frac{28}{16} - \frac{15}{16} = \frac{13}{16}$.

Теперь найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = \frac{13}{16} - \frac{15}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $a_1 = \frac{15}{16}$, $d = -\frac{1}{8}$.