Номер 408, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 408, страница 119.

Условие.

408. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

а) $a_3 + a_7 + a_{14} + a_{18} = 10;$

б) $a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = -16.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для решения задачи нам понадобится формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Мы ищем сумму первых двадцати членов, то есть $S_{20}$. Подставим $n=20$ в формулу:

$S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20 = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Из условия задачи нам известно, что $a_3 + a_7 + a_{14} + a_{18} = 10$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, чтобы выразить каждый член суммы через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$

$a_{18} = a_1 + (18-1)d = a_1 + 17d$

Теперь подставим эти выражения в данное нам равенство:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 13d) + (a_1 + 17d) = 10$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$4a_1 + (2+6+13+17)d = 10$

$4a_1 + 38d = 10$

Разделим обе части уравнения на 2:

$2a_1 + 19d = 5$

Мы получили значение выражения $2a_1 + 19d$, которое необходимо для вычисления $S_{20}$. Подставим это значение в формулу для суммы:

$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10 = 5 \cdot 10 = 50$

Ответ: 50.

б)

Решение этого пункта аналогично предыдущему. Мы также ищем $S_{20}$ по формуле $S_{20} = 10(2a_1 + 19d)$.

По условию задачи дано: $a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = -16$.

Выразим каждый член этой суммы через $a_1$ и $d$:

$a_6 = a_1 + 5d$

$a_9 = a_1 + 8d$

$a_{12} = a_1 + 11d$

$a_{15} = a_1 + 14d$

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$(a_1 + 5d) + (a_1 + 8d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 14d) = -16$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$4a_1 + (5+8+11+14)d = -16$

$4a_1 + 38d = -16$

Разделим обе части уравнения на 2:

$2a_1 + 19d = -8$

Теперь подставим найденное значение выражения $2a_1 + 19d$ в формулу для $S_{20}$:

$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10 = -8 \cdot 10 = -80$

Ответ: -80.