Номер 401, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 401, страница 119.

Условие.

401. Ботанический заказник «Каратальские пески» Казахстана известен зарослями облепихи, растущими между барханами. Узнайте его площадь, если число, выражающее ее в гектарах, в 1000 раз больше числа, полученного в ответе задачи: «Асхат спускался по бархану, склон которого составляет с горизонтом $30^\circ$. Он достиг его основания за 4 шага, при этом его первый шаг был равен $0,5 \text{ м}$, а каждый следующий на $10 \text{ см}$ больше предыдущего. С какой высоты (м) спускался Асхат?»

Заросли облепихи

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы найти площадь заказника, сначала необходимо решить вложенную задачу про Асхата, так как ее ответ является исходным данным для основного вопроса. Решим задачу по частям.

С какой высоты (м) спускался Асхат?

Первым делом найдем общую длину пути, который Асхат прошел по склону бархана. Длины его четырех шагов образуют арифметическую прогрессию со следующими параметрами:
- Первый член прогрессии (длина первого шага): $a_1 = 0,5$ м.
- Разность прогрессии (увеличение длины шага): $d = 10 \text{ см} = 0,1$ м.
- Количество членов прогрессии (число шагов): $n = 4$.

Сумма членов этой прогрессии даст нам общую длину склона $L$. Используем формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$:
$L = S_4 = \frac{2 \cdot 0,5 + 0,1 \cdot (4-1)}{2} \cdot 4 = \frac{1 + 0,3}{2} \cdot 4 = 1,3 \cdot 2 = 2,6$ м.

Теперь мы можем найти высоту спуска $h$. Длина склона $L$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, а высота $h$ — катетом, противолежащим углу наклона склона в $30^\circ$.
Связь между ними выражается через синус угла:
$h = L \cdot \sin(30^\circ)$
Учитывая, что $\sin(30^\circ) = 0,5$, получаем:
$h = 2,6 \cdot 0,5 = 1,3$ м.

Ответ: Асхат спускался с высоты 1,3 м.

Узнайте его площадь

Согласно условию, число, выражающее площадь заказника в гектарах, в 1000 раз больше числа, полученного в ответе предыдущей задачи. Это число равно 1,3.

Рассчитаем площадь $S$ заказника:
$S = 1,3 \cdot 1000 = 1300$ гектаров.

Ответ: площадь заказника «Каратальские пески» составляет 1300 гектаров.