Номер 395, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 395, страница 118.

Условие.

395. Найдите $a_1$ и $a_n$ – члены арифметической прогрессии $(a_n)$, для которой:

а) $n = 23, d = -5, S_{23} = 161$

б) $n = 16, d = 0.5, S_{16} = -48$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $a_1$ и $n$-го члена $a_n$ (в данном случае $a_{23}$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

В условии даны: $n = 23$, разность прогрессии $d = -5$ и сумма первых 23 членов $S_{23} = 161$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $a_1$:

$161 = \frac{2a_1 + (-5)(23-1)}{2} \cdot 23$

$161 = \frac{2a_1 - 5 \cdot 22}{2} \cdot 23$

$161 = \frac{2a_1 - 110}{2} \cdot 23$

Разделим обе части уравнения на 23:

$\frac{161}{23} = \frac{2a_1 - 110}{2}$

$7 = \frac{2a_1 - 110}{2}$

Умножим обе части на 2:

$14 = 2a_1 - 110$

Выразим $2a_1$:

$2a_1 = 14 + 110$

$2a_1 = 124$

$a_1 = \frac{124}{2} = 62$

Теперь, зная $a_1$, найдем $a_{23}$ по формуле $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

$a_{23} = 62 + (-5)(23-1)$

$a_{23} = 62 - 5 \cdot 22$

$a_{23} = 62 - 110$

$a_{23} = -48$

Ответ: $a_1 = 62$, $a_{23} = -48$.

б)

В этом случае даны: $n = 16$, разность прогрессии $d = 0,5$ и сумма первых 16 членов $S_{16} = -48$. Требуется найти $a_1$ и $a_{16}$.

Снова используем формулу суммы первых $n$ членов для нахождения $a_1$:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения:

$-48 = \frac{2a_1 + 0,5(16-1)}{2} \cdot 16$

$-48 = \frac{2a_1 + 0,5 \cdot 15}{2} \cdot 16$

$-48 = (2a_1 + 7,5) \cdot 8$

Разделим обе части уравнения на 8:

$\frac{-48}{8} = 2a_1 + 7,5$

$-6 = 2a_1 + 7,5$

Выразим $2a_1$:

$2a_1 = -6 - 7,5$

$2a_1 = -13,5$

$a_1 = \frac{-13,5}{2} = -6,75$

Теперь найдем $a_{16}$ по формуле $n$-го члена, зная $a_1$:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

$a_{16} = -6,75 + 0,5(16-1)$

$a_{16} = -6,75 + 0,5 \cdot 15$

$a_{16} = -6,75 + 7,5$

$a_{16} = 0,75$

Ответ: $a_1 = -6,75$, $a_{16} = 0,75$.