Номер 399, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 399, страница 118.

Условие.

399. В арифметической прогрессии $(a_n)$, в которой разность $d \neq 0$, сумма членов с седьмого по тринадцатый включительно равна 52,5. Найдите номер члена этой прогрессии, равного 7,5.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d \neq 0$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию, сумма членов с седьмого по тринадцатый включительно равна 52,5. Запишем эту сумму:
$S = a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} = 52,5$.
Всего в этой сумме $13 - 7 + 1 = 7$ членов. Эти члены также образуют арифметическую прогрессию.

Способ 1: Использование свойства симметрии
Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: для конечного набора последовательных членов, если их количество нечетно, их сумма равна произведению количества членов на средний член. В данном случае, у нас 7 членов, и средним (центральным) членом является $a_{10}$.
Сгруппируем слагаемые симметрично относительно $a_{10}$:
$a_7 + a_{13} = (a_{10} - 3d) + (a_{10} + 3d) = 2a_{10}$
$a_8 + a_{12} = (a_{10} - 2d) + (a_{10} + 2d) = 2a_{10}$
$a_9 + a_{11} = (a_{10} - d) + (a_{10} + d) = 2a_{10}$
Таким образом, сумму можно переписать:
$S = (a_7 + a_{13}) + (a_8 + a_{12}) + (a_9 + a_{11}) + a_{10} = 2a_{10} + 2a_{10} + 2a_{10} + a_{10} = 7a_{10}$.
По условию $S = 52,5$, значит:
$7a_{10} = 52,5$
Найдем значение десятого члена прогрессии:
$a_{10} = \frac{52,5}{7} = 7,5$.

Способ 2: Использование формулы суммы
Сумму членов с 7-го по 13-й можно найти по формуле суммы конечной арифметической прогрессии: $S_k = \frac{b_1 + b_k}{2} \cdot k$, где $k$ — количество членов, $b_1$ — первый член, $b_k$ — последний член.
В нашем случае количество членов $k = 13 - 7 + 1 = 7$. Первый член этой последовательности — это $a_7$, а последний — $a_{13}$.
Сумма равна: $S = \frac{a_7 + a_{13}}{2} \cdot 7$.
Подставим известное значение суммы:
$52,5 = \frac{a_7 + a_{13}}{2} \cdot 7$
Разделим обе части уравнения на 7:
$7,5 = \frac{a_7 + a_{13}}{2}$
Выражение $\frac{a_7 + a_{13}}{2}$ является средним арифметическим седьмого и тринадцатого членов. Для арифметической прогрессии среднее арифметическое двух членов $a_m$ и $a_k$ равно члену, индекс которого равен среднему арифметическому их индексов: $a_{\frac{m+k}{2}}$.
В нашем случае, индекс этого члена равен $\frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
Следовательно, $\frac{a_7 + a_{13}}{2} = a_{10}$.
Таким образом, мы получаем, что $a_{10} = 7,5$.

В задаче требуется найти номер члена прогрессии, который равен 7,5. Оба способа приводят к результату, что десятый член прогрессии $a_{10}$ равен 7,5. Следовательно, искомый номер члена прогрессии — 10.

Ответ: 10.