Номер 400, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 400, страница 119.

Условие.

400. Найдите сумму:

а) всех четных чисел, больших 25, но меньших 125;

б) всех двузначных чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Требуется найти сумму всех четных чисел в интервале $(25, 125)$. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.
Первый член этой прогрессии, $a_1$, является первым четным числом, большим 25. Таким образом, $a_1 = 26$.
Последний член прогрессии, $a_n$, является последним четным числом, меньшим 125. Таким образом, $a_n = 124$.
Разность арифметической прогрессии для последовательных четных чисел равна $d=2$.
Чтобы найти сумму, сначала определим количество членов $n$ в этой прогрессии, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$124 = 26 + (n-1) \cdot 2$
$124 - 26 = (n-1) \cdot 2$
$98 = (n-1) \cdot 2$
$n-1 = \frac{98}{2} = 49$
$n = 49 + 1 = 50$
Теперь, когда мы знаем количество членов, мы можем вычислить сумму прогрессии $S_n$ по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:
$S_{50} = \frac{50(26 + 124)}{2} = \frac{50 \cdot 150}{2} = 25 \cdot 150 = 3750$.
Ответ: 3750.

б) Требуется найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5. Мы решим эту задачу, используя принцип включений-исключений. План следующий:
1. Найти сумму всех двузначных чисел ($S_{всех}$).
2. Найти сумму всех двузначных чисел, делящихся на 3 ($S_3$).
3. Найти сумму всех двузначных чисел, делящихся на 5 ($S_5$).
4. Найти сумму всех двузначных чисел, делящихся на 15 (то есть и на 3, и на 5) ($S_{15}$).
5. Найти искомую сумму, вычтя из общей суммы сумму чисел, делящихся на 3 или на 5: $S = S_{всех} - (S_3 + S_5 - S_{15})$.

Шаг 1: Сумма всех двузначных чисел.
Двузначные числа от 10 до 99 образуют арифметическую прогрессию с $a_1 = 10$, $a_n = 99$ и количеством членов $n = 99 - 10 + 1 = 90$.
$S_{всех} = \frac{90(10 + 99)}{2} = 45 \cdot 109 = 4905$.

Шаг 2: Сумма чисел, делящихся на 3.
Это прогрессия от 12 до 99 с разностью 3. Первый член $a_1=12$, последний $a_n=99$. Количество членов $n_3 = \frac{99-12}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.
$S_3 = \frac{30(12 + 99)}{2} = 15 \cdot 111 = 1665$.

Шаг 3: Сумма чисел, делящихся на 5.
Это прогрессия от 10 до 95 с разностью 5. Первый член $a_1=10$, последний $a_n=95$. Количество членов $n_5 = \frac{95-10}{5} + 1 = 17 + 1 = 18$.
$S_5 = \frac{18(10 + 95)}{2} = 9 \cdot 105 = 945$.

Шаг 4: Сумма чисел, делящихся на 15.
Это прогрессия от 15 до 90 с разностью 15. Первый член $a_1=15$, последний $a_n=90$. Количество членов $n_{15} = \frac{90-15}{15} + 1 = 5 + 1 = 6$.
$S_{15} = \frac{6(15 + 90)}{2} = 3 \cdot 105 = 315$.

Шаг 5: Вычисление итоговой суммы.
Сумма чисел, делящихся на 3 или на 5, равна $S_{3 \cup 5} = S_3 + S_5 - S_{15} = 1665 + 945 - 315 = 2610 - 315 = 2295$.
Искомая сумма — это разность между суммой всех двузначных чисел и суммой чисел, делящихся на 3 или на 5:
$S = S_{всех} - S_{3 \cup 5} = 4905 - 2295 = 2610$.
Ответ: 2610.