Номер 404, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 404, страница 119.

Условие.

404. Запишите формулу суммы $n$ первых натуральных чисел:

а) нечетных;

б) четных.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) нечетных;

Последовательность первых $n$ нечетных натуральных чисел имеет вид: $1, 3, 5, 7, \dots$.Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 1$ и разность $d = 2$.$n$-й член этой прогрессии можно найти по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставив значения, получим: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.Подставим в эту формулу значения для нашей последовательности нечетных чисел:$S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n$Упростим выражение в числителе:$S_n = \frac{2n}{2} \cdot n = n \cdot n = n^2$.Таким образом, сумма первых $n$ нечетных натуральных чисел равна $n^2$.
Ответ: $S_n = n^2$

б) четных.

Последовательность первых $n$ четных натуральных чисел имеет вид: $2, 4, 6, 8, \dots$.Это также арифметическая прогрессия. Ее первый член $a_1 = 2$, а разность $d = 2$.$n$-й член этой прогрессии равен $a_n = 2n$.Для нахождения суммы воспользуемся той же формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.Подставим значения для последовательности четных чисел:$S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n$Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:$S_n = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n = (1 + n) \cdot n = n(n+1)$.Следовательно, сумма первых $n$ четных натуральных чисел равна $n(n+1)$.
Ответ: $S_n = n(n+1)$