Номер 410, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 410, страница 120.

Условие.

410. Сколько членов арифметической прогрессии с разностью $0.5$ надо взять, чтобы их сумма равнялась $175$, а первый член был равен наибольшему целому решению неравенства $2x^2 + 13x - 34 < 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Решение задачи состоит из двух этапов. Сначала мы найдем первый член арифметической прогрессии, а затем определим количество членов.

1. Нахождение первого члена прогрессии ($a_1$)

Согласно условию, первый член прогрессии $a_1$ равен наибольшему целому решению неравенства $2x^2 + 13x - 34 < 0$. Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 13x - 34 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-34) = 169 + 272 = 441$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 21}{4} = \frac{-34}{4} = -8,5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 21}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), ветви параболы $y = 2x^2 + 13x - 34$ направлены вверх. Это означает, что неравенство $2x^2 + 13x - 34 < 0$ выполняется для всех $x$, находящихся между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-8,5; 2)$.

Наибольшим целым числом в этом интервале является 1. Следовательно, первый член арифметической прогрессии $a_1 = 1$.

2. Нахождение количества членов прогрессии ($n$)

Теперь, когда мы знаем все необходимые параметры, мы можем найти количество членов $n$. Нам известно:

Первый член $a_1 = 1$

Разность прогрессии $d = 0,5$

Сумма $n$ членов $S_n = 175$

Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения:

$175 = \frac{2 \cdot 1 + 0,5(n-1)}{2} \cdot n$

Умножим обе части на 2, чтобы упростить уравнение:

$350 = (2 + 0,5n - 0,5) \cdot n$

$350 = (1,5 + 0,5n) \cdot n$

$350 = 1,5n + 0,5n^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $an^2 + bn + c = 0$:

$0,5n^2 + 1,5n - 350 = 0$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$n^2 + 3n - 700 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $n$. Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 9 + 2800 = 2809$

Найдем корни:

$n_1 = \frac{-3 - \sqrt{2809}}{2} = \frac{-3 - 53}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

$n_2 = \frac{-3 + \sqrt{2809}}{2} = \frac{-3 + 53}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным (положительным целым) числом, корень $n_1 = -28$ не является решением нашей задачи.

Следовательно, нужно взять 25 членов арифметической прогрессии.

Ответ: 25