Номер 403, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 403, страница 119.

Условие.

403. Боковая сторона трапеции с основаниями 3 см и 5 см разделена на 4 равные части. Через точки деления проведены прямые, параллельные ее основаниям. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключенных между боковыми сторонами трапеции.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана трапеция с основаниями $a = 3$ см и $b = 5$ см. Боковая сторона трапеции разделена на 4 равные части. Через три точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Эти прямые образуют три новых отрезка, заключенных между боковыми сторонами. Обозначим их длины как $l_1, l_2, l_3$.

Задача состоит в том, чтобы найти сумму длин всех параллельных отрезков. Это два основания ($a$ и $b$) и три новых отрезка ($l_1, l_2, l_3$). Всего получается 5 отрезков.

Длины параллельных отрезков в трапеции, которые проведены через точки, делящие боковую сторону на равные части, образуют арифметическую прогрессию. В данном случае, у нас есть 5 таких отрезков: $a, l_1, l_2, l_3, b$.

Таким образом, мы имеем арифметическую прогрессию, в которой:

• Первый член прогрессии (меньшее основание): $a_1 = a = 3$ см.
• Последний, пятый член прогрессии (большее основание): $a_5 = b = 5$ см.
• Количество членов прогрессии: $n = 5$.

Сумму членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в эту формулу, чтобы найти сумму длин всех пяти отрезков: $S_5 = \frac{3 + 5}{2} \cdot 5 = \frac{8}{2} \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Для проверки можно найти длины каждого из отрезков. Сначала найдем разность прогрессии $d$: $a_5 = a_1 + (5-1)d$ $5 = 3 + 4d$ $4d = 2$ $d = 0.5$ см.

Тогда длины всех параллельных отрезков равны:

• $a_1 = 3$ см
• $l_1 = a_2 = 3 + 0.5 = 3.5$ см
• $l_2 = a_3 = 3.5 + 0.5 = 4$ см (это средняя линия трапеции)
• $l_3 = a_4 = 4 + 0.5 = 4.5$ см
• $a_5 = 5$ см

Сумма их длин: $3 + 3.5 + 4 + 4.5 + 5 = 20$ см.

Ответ: 20 см.